Cálculo de la recta perpendicular común a dos rectas

**P6) Calcula la ecuación continua de la recta $t$ sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:** Primero, extraemos la información necesaria de las rectas dadas. Para la recta $r$, dada en su forma implícita, obtenemos su vector director $\vec{v_r}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(6-0) - \mathbf{j}(3-1) + \mathbf{k}(0-2) = (6, -2, -2)$$ Simplificamos el vector dividiendo por 2: **$\vec{v_r} = (3, -1, -1)$**. Para obtener un punto $P_r$ de la recta $r$, fijamos $z = 1$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} x + 2y + 1 - 1 = 0 \\ x + 3(1) - 7 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2y = 0 \\ x = 4 \end{cases} \implies y = -2.$$ Así, **$P_r(4, -2, 1)$**. Para la recta $s$, extraemos directamente los datos de su ecuación continua: Vector director: **$\vec{v_s} = (2, 1, 0)$**. Punto: **$P_s(-2, 0, -3)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el denominador $0$ en la ecuación continua indica que la componente del vector director es nula, no una división por cero real.

La recta $t$ debe ser perpendicular a $r$ y a $s$. Por tanto, su vector director $\vec{v_t}$ será el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{v_t} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v_t} = \mathbf{i}(( -1) \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot 0 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 2)$$ $$\vec{v_t} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(5) = (1, -2, 5)$$ $$\boxed{\vec{v_t} = (1, -2, 5)}$$

La recta $t$ se puede definir como la intersección de dos planos, $\pi_r$ y $\pi_s$: - $\pi_r$: contiene a la recta $r$ y al vector $\vec{v_t}$. - $\pi_s$: contiene a la recta $s$ y al vector $\vec{v_t}$. **Calculamos $\pi_r$:** Usamos el punto $P_r(4, -2, 1)$, el vector $\vec{v_r}(3, -1, -1)$ y $\vec{v_t}(1, -2, 5)$: $$\begin{vmatrix} x-4 & y+2 & z-1 \\ 3 & -1 & -1 \\ 1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x-4)(-5-2) - (y+2)(15+1) + (z-1)(-6+1) = 0$$ $$-7(x-4) - 16(y+2) - 5(z-1) = 0 \implies -7x + 28 - 16y - 32 - 5z + 5 = 0$$ $$\pi_r \equiv 7x + 16y + 5z - 1 = 0$$ **Calculamos $\pi_s$:** Usamos el punto $P_s(-2, 0, -3)$, el vector $\vec{v_s}(2, 1, 0)$ y $\vec{v_t}(1, -2, 5)$: $$\begin{vmatrix} x+2 & y & z+3 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+2)(5-0) - y(10-0) + (z+3)(-4-1) = 0$$ $$5(x+2) - 10y - 5(z+3) = 0 \implies x + 2 - 2y - z - 3 = 0$$ $$\pi_s \equiv x - 2y - z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** El plano que contiene a una recta y a otra dirección se halla con el determinante formado por $(X-P)$, el vector de la recta y el vector de la otra dirección.

Para expresar $t$ en forma continua, necesitamos un punto $P_t$ que pertenezca a la intersección de $\pi_r$ y $\pi_s$: $$\begin{cases} 7x + 16y + 5z = 1 \\ x - 2y - z = 1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación despejamos $x = 1 + 2y + z$ y sustituimos en la primera: $$7(1 + 2y + z) + 16y + 5z = 1 \implies 7 + 14y + 7z + 16y + 5z = 1$$ $$30y + 12z = -6 \implies 5y + 2z = -1$$ Buscamos una solución sencilla, por ejemplo, si **$y = 1$**: $$5(1) + 2z = -1 \implies 2z = -6 \implies z = -3$$ Para $x$: $$x = 1 + 2(1) + (-3) = 0$$ El punto obtenido es **$P_t(0, 1, -3)$**.

Con el punto $P_t(0, 1, -3)$ y el vector director $\vec{v_t}(1, -2, 5)$, escribimos la ecuación continua de la recta $t$: $$t \equiv \frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z - (-3)}{5}$$ Simplificando: ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 3}{5}}$$