Cálculo de una matriz a partir de sus inversas

**P5) Sabiendo que la inversa de una matriz $A$ es $A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y la inversa de la matriz $A \cdot B$ es $(A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$, determina la matriz $B$.** Para hallar la matriz $B$, podemos partir de la relación del producto de matrices. Si conocemos la matriz $A \cdot B$ y la matriz $A^{-1}$, podemos despejar $B$ multiplicando por la izquierda: $$A \cdot B = (A \cdot B) \implies A^{-1} \cdot (A \cdot B) = B \implies B = A^{-1} \cdot (A \cdot B)$$ Como el enunciado nos da $(A \cdot B)^{-1}$, el primer paso será obtener $A \cdot B$ aplicando que la inversa de la inversa es la matriz original: $(M^{-1})^{-1} = M$. 💡 **Tip:** Recuerda que en álgebra matricial el orden de los factores importa. Para "eliminar" la $A$ de la izquierda en el producto $A \cdot B$, debemos multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

Calculamos $A \cdot B$ hallando la inversa de $(A \cdot B)^{-1} = \begin{pmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. 1. **Calculamos el determinante:** $$|(A \cdot B)^{-1}| = \begin{vmatrix} -6 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-6) \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1$$ 2. **Matriz de adjuntos:** $$\text{Adj}((A \cdot B)^{-1}) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -6 \end{pmatrix}$$ 3. **Traspuesta de la adjunta:** $$\text{Adj}((A \cdot B)^{-1})^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -6 \end{pmatrix}$$ 4. **Inversa:** $$A \cdot B = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}}$$

Ahora que conocemos $A^{-1}$ (proporcionada en el enunciado) y $A \cdot B$ (calculada en el paso anterior), realizamos el producto para obtener $B$: $$B = A^{-1} \cdot (A \cdot B)$$ Sustituimos las matrices: $$B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - Elemento $(1,1): 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1$ - Elemento $(1,2): 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 6 = 2 - 6 = -4$ - Elemento $(2,1): (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1$ - Elemento $(2,2): (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 6 = -1 + 6 = 5$ Obtenemos así la matriz final: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}}$$