Continuidad, derivabilidad y Teorema del Valor Medio

**a) Demuestra que la función es derivable en todo $\mathbb{R}$. (1 punto)** Para demostrar que una función es derivable, primero debemos asegurar que es continua. Analizamos las ramas de la función: - Para $x \lt 1$, $f(x) = \frac{1}{3} + \ln \frac{x^2 + 2}{3}$. Es una función logarítmica cuyo argumento $\frac{x^2+2}{3}$ es siempre positivo, por lo que es continua en su intervalo. - Para $x \gt 1$, $f(x) = \frac{x^2}{3}$. Es una función polinómica, por lo que es continua en su intervalo. Estudiamos el punto de unión $x = 1$: 1. Valor de la función: $f(1) = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} \left( \frac{1}{3} + \ln \frac{x^2 + 2}{3} \right) = \frac{1}{3} + \ln \frac{1^2 + 2}{3} = \frac{1}{3} + \ln(1) = \frac{1}{3} + 0 = \frac{1}{3}$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2}{3} = \frac{1}{3}$. Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = \frac{1}{3}$, la función es **continua en $x = 1$** y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no asegura la derivabilidad. Siempre comprueba la continuidad en los puntos de salto antes de derivar.

Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 1$: - Si $x \lt 1$: Aplicamos la regla de la cadena para el logaritmo: $$f'(x) = 0 + \frac{1}{\frac{x^2+2}{3}} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{3}{x^2+2} \cdot \frac{2x}{3} = \frac{2x}{x^2+2}.$$ - Si $x \gt 1$: $f'(x) = \frac{2x}{3}$. La función derivada es: $$f'(x)=\begin{cases} \frac{2x}{x^2+2} & \text{si } x \lt 1,\\ \frac{2x}{3} & \text{si } x \gt 1. \end{cases}$$ Ahora comprobamos si las derivadas laterales coinciden en $x = 1$: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x}{x^2+2} = \frac{2(1)}{1^2+2} = \frac{2}{3}$. - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x}{3} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$. Al ser iguales ($f'(1^-) = f'(1^+) = 2/3$), la función es **derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es derivable en todo } \mathbb{R}}$$

**b) Demuestra que existe un valor $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Enuncia el (los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifica su uso. (1.5 puntos)** Para demostrar la existencia de un valor de la derivada, utilizaremos el **Teorema del Valor Medio (o Teorema de Lagrange)**. **Enunciado del Teorema del Valor Medio:** Si una función $f(x)$ es: 1. Continua en un intervalo cerrado $[a, b]$. 2. Derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces, existe al menos un punto $\alpha \in (a, b)$ tal que: $$f'(\alpha) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ **Justificación de su uso:** En el apartado anterior, hemos demostrado que $f(x)$ es derivable en todo $\mathbb{R}$, lo que garantiza que es continua y derivable en cualquier intervalo que elijamos. Para encontrar $f'(\alpha) = 1$ en $(0, 2)$, buscaremos un subintervalo donde la pendiente de la secante sea 1. 💡 **Tip:** El Teorema del Valor Medio relaciona la pendiente de la recta tangente en un punto (derivada) con la pendiente de la recta secante que une los extremos del intervalo.

Probamos con el intervalo $[1, 2]$, que está contenido en $(0, 2)$. Calculamos los valores de la función en los extremos: - $f(1) = \frac{1^2}{3} = \frac{1}{3}$. - $f(2) = \frac{2^2}{3} = \frac{4}{3}$. Calculamos la pendiente de la secante en $[1, 2]$: $$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}{1} = \frac{\frac{3}{3}}{1} = 1.$$ Como se cumplen las hipótesis del Teorema del Valor Medio en $[1, 2]$: - $f$ es continua en $[1, 2]$. - $f$ es derivable en $(1, 2)$. Existe al menos un $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Dado que el intervalo $(1, 2)$ está contenido dentro del intervalo $(0, 2)$, queda demostrada la existencia del valor solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } \alpha \in (1, 2) \subset (0, 2) \text{ tal que } f'(\alpha) = 1}$$ *Nota adicional:* Si resolvemos $f'(\alpha) = 1$ para $x \gt 1$, tenemos $\frac{2\alpha}{3} = 1 \implies \alpha = 1.5$, que efectivamente pertenece a $(0, 2)$.