Cálculo de integrales indefinidas: racional y por partes

**Calcula la integral indefinida: $\int \frac{x - 7}{x^2 + x - 6} dx \quad (1.25 puntos)$** Estamos ante una integral racional donde el grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2). El primer paso es factorizar el denominador $x^2 + x - 6$. Resolvemos la ecuación de segundo grado $x^2 + x - 6 = 0$: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Las raíces son $x_1 = 2$ y $x_2 = -3$. Por tanto: $$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$$ Planteamos la descomposición en fracciones simples: $$\frac{x - 7}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3}$$ 💡 **Tip:** Cuando el denominador tiene raíces reales simples, la fracción se descompone en una suma de fracciones con constantes en el numerador.

Para hallar $A$ y $B$, sumamos las fracciones e igualamos los numeradores: $$x - 7 = A(x + 3) + B(x - 2)$$ Podemos dar valores a $x$ (las raíces halladas) para simplificar el cálculo: - Si **$x = 2$**: $$2 - 7 = A(2 + 3) + B(0) \implies -5 = 5A \implies \mathbf{A = -1}$$ - Si **$x = -3$**: $$-3 - 7 = A(0) + B(-3 - 2) \implies -10 = -5B \implies \mathbf{B = 2}$$ La fracción original queda descompuesta de la siguiente forma: $$\frac{x - 7}{x^2 + x - 6} = \frac{-1}{x - 2} + \frac{2}{x + 3}$$

Sustituimos la descomposición en la integral y aplicamos la linealidad: $$\int \frac{x - 7}{x^2 + x - 6} dx = \int \left( \frac{-1}{x - 2} + \frac{2}{x + 3} \right) dx = -\int \frac{1}{x - 2} dx + 2 \int \frac{1}{x + 3} dx$$ Ambas son integrales inmediatas de tipo logarítmico: $$\int \frac{x - 7}{x^2 + x - 6} dx = -\ln|x - 2| + 2\ln|x + 3| + C$$ Podemos simplificar el resultado usando las propiedades de los logaritmos: $$\int \frac{x - 7}{x^2 + x - 6} dx = \ln\left( \frac{(x + 3)^2}{|x - 2|} \right) + C$$ ✅ **Resultado integral 1:** $$\boxed{\ln\left( \frac{(x + 3)^2}{|x - 2|} \right) + C}$$

**Calcula la integral indefinida: $\int e^{2x} \sin(2x + 1) dx \quad (1.25 puntos)$** Esta es una **integral cíclica** que resolveremos aplicando el método de integración por partes dos veces. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Usamos la regla ALPES para elegir $u$ (Trigonométrica antes que Exponencial). Elegimos: - $u = \sin(2x + 1) \implies du = 2\cos(2x + 1) dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$ Aplicamos la fórmula: $$I = \int e^{2x} \sin(2x + 1) dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin(2x + 1) - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 2\cos(2x + 1) dx$$ $$I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin(2x + 1) - \int e^{2x} \cos(2x + 1) dx$$

Aplicamos partes de nuevo a la integral restante $\int e^{2x} \cos(2x + 1) dx$ siguiendo el mismo criterio: - $u = \cos(2x + 1) \implies du = -2\sin(2x + 1) dx$ - $dv = e^{2x} dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}$ Sustituimos en la expresión de $I$: $$I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin(2x + 1) - \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \cos(2x + 1) - \int \frac{1}{2}e^{2x} (-2\sin(2x + 1)) dx \right]$$ $$I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin(2x + 1) - \frac{1}{2}e^{2x} \cos(2x + 1) - \int e^{2x} \sin(2x + 1) dx$$ Observamos que ha aparecido de nuevo la integral original $I$: $$I = \frac{1}{2}e^{2x} \sin(2x + 1) - \frac{1}{2}e^{2x} \cos(2x + 1) - I$$ Pasamos la $I$ al lado izquierdo: $$2I = \frac{1}{2}e^{2x} \left( \sin(2x + 1) - \cos(2x + 1) \right)$$ $$I = \frac{1}{4}e^{2x} \left( \sin(2x + 1) - \cos(2x + 1) \right) + C$$ ✅ **Resultado integral 2:** $$\boxed{\frac{1}{4}e^{2x} \left( \sin(2x + 1) - \cos(2x + 1) \right) + C}$$