Esfera tangente a un plano definido por tres puntos

Para obtener la ecuación del plano $\pi$, necesitamos un punto y dos vectores directores contenidos en él. Utilizaremos el punto $P_1(2, 0, 5)$ y los vectores $\vec{u} = \vec{P_1P_2}$ y $\vec{v} = \vec{P_1P_3}$. Calculamos los vectores: $$\vec{u} = P_2 - P_1 = (1-2, -2-0, 2-5) = (-1, -2, -3)$$ $$\vec{v} = P_3 - P_1 = (3-2, -1-0, 2-5) = (1, -1, -3)$$ El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -1 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = [(-2)(-3)\vec{i} + (-3)(1)\vec{j} + (-1)(-1)\vec{k}] - [(-2)(1)\vec{k} + (-3)(-1)\vec{i} + (-1)(-3)\vec{j}]$$ $$\vec{n} = (6\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}) - (-2\vec{k} + 3\vec{i} + 3\vec{j})$$ $$\vec{n} = (6-3)\vec{i} + (-3-3)\vec{j} + (1+2)\vec{k} = (3, -6, 3)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 3: **$\vec{n} = (1, -2, 1)$**. La ecuación del plano será del tipo $x - 2y + z + D = 0$. Imponemos que pase por $P_1(2, 0, 5)$: $$1(2) - 2(0) + 1(5) + D = 0 \implies 7 + D = 0 \implies D = -7$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal $(A, B, C)$ define los coeficientes de la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$. ✅ **Ecuación del plano:** $$\boxed{\pi: x - 2y + z - 7 = 0}$$

Si la esfera toca al plano en un único punto, significa que el plano es **tangente** a la esfera. En este caso, el radio $R$ de la esfera es igual a la distancia desde el centro $C(0, 1, -3)$ al plano $\pi$. Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano: $$R = d(C, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos las coordenadas de $C(0, 1, -3)$ y la ecuación de $\pi$: $$R = \frac{|1(0) - 2(1) + 1(-3) - 7|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$$ $$R = \frac{|0 - 2 - 3 - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{|-12|}{\sqrt{6}} = \frac{12}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$R = \frac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \text{ unidades}$$ 💡 **Tip:** El radio siempre debe ser un valor positivo, por eso es fundamental el valor absoluto en el numerador de la fórmula de la distancia. ✅ **Resultado (radio):** $$\boxed{R = 2\sqrt{6}}$$

El punto de intersección $Q$ es el punto de tangencia entre la esfera y el plano. Este punto coincide con la proyección ortogonal del centro $C$ sobre el plano $\pi$. Para hallarlo, calculamos la recta $r$ que pasa por $C$ y es perpendicular a $\pi$. La recta $r$ tiene como vector director el vector normal del plano $\vec{v_r} = \vec{n} = (1, -2, 1)$ y pasa por $C(0, 1, -3)$: $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = -3 + \lambda \end{cases}$$ El punto $Q$ es la intersección de $r$ con $\pi$. Sustituimos las expresiones paramétricas de la recta en la ecuación del plano: $$(\lambda) - 2(1 - 2\lambda) + (-3 + \lambda) - 7 = 0$$ $$\lambda - 2 + 4\lambda - 3 + \lambda - 7 = 0$$ $$6\lambda - 12 = 0 \implies 6\lambda = 12 \implies \lambda = 2$$ Ahora calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda = 2$ en la recta: $$x = 2$$ $$y = 1 - 2(2) = -3$$ $$z = -3 + 2 = -1$$ 💡 **Tip:** El punto de tangencia es siempre el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la esfera al plano tangente. ✅ **Resultado (punto de intersección):** $$\boxed{Q(2, -3, -1)}$$