Estudio y resolución de un sistema con parámetros

Para estudiar el sistema, definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} a^2-2 & 2 & 1 \\ a^2-2 & 4 & a+1 \\ a^2-2 & 2 & 2-a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} a^2-2 & 2 & 1 & | & a+2 \\ a^2-2 & 4 & a+1 & | & a+6 \\ a^2-2 & 2 & 2-a & | & a+\sqrt{2} \end{pmatrix}$$ El estudio del sistema se basa en comparar los rangos de estas matrices según los valores del parámetro $a$.

Calculamos el determinante de $A$ para identificar los valores críticos de $a$. Podemos simplificar el cálculo extrayendo el factor $(a^2-2)$ de la primera columna: $$|A| = \begin{vmatrix} a^2-2 & 2 & 1 \\ a^2-2 & 4 & a+1 \\ a^2-2 & 2 & 2-a \end{vmatrix} = (a^2-2) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & a+1 \\ 1 & 2 & 2-a \end{vmatrix}$$ Aplicamos transformaciones elementales por filas ($F_2 - F_1$ y $F_3 - F_1$): $$|A| = (a^2-2) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 0 & 0 & 1-a \end{vmatrix}$$ El determinante de una matriz triangular es el producto de su diagonal: $$|A| = (a^2-2) \cdot 1 \cdot 2 \cdot (1-a) = 2(a^2-2)(1-a)$$ Igualamos a cero para hallar las raíces: $2(a^2-2)(1-a) = 0 \implies \begin{cases} a^2-2 = 0 \implies a = \pm\sqrt{2} \\ 1-a = 0 \implies a = 1 \end{cases}$ 💡 **Tip:** Usar propiedades de los determinantes (como sacar factor común o hacer ceros) simplifica mucho los cálculos con parámetros.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para analizar los rangos: 1. **Si $a \neq 1, a \neq \sqrt{2}, a \neq -\sqrt{2}$:** $|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$ (nº incógnitas). El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. 2. **Si $a = 1$:** $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$. El $\text{rg}(A) = 2$ ya que $F_1 = F_3$. Para $A^*$: $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -1 & 4 & 7 \\ -1 & 2 & 1+\sqrt{2} \end{vmatrix}$. Al hacer $F_3 - F_1$ queda $(0, 0, \sqrt{2}-2) \neq 0$. Por tanto, $\text{rg}(A^*) = 3$. Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, es **Incompatible**. 3. **Si $a = \sqrt{2}$:** $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & \sqrt{2}+1 \\ 0 & 2 & 2-\sqrt{2} \end{pmatrix}$. El $\text{rg}(A) = 2$ (las dos últimas columnas son independientes). Analizando $A^*$: La primera columna es nula. Tras operaciones similares al paso 2, se comprueba que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt 3$, es **Compatible Indeterminado (SCI)**. 4. **Si $a = -\sqrt{2}$:** Análogamente al caso $a=1$, se comprueba que $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 3$. El sistema es **Incompatible**.

Resolvemos el sistema general para los casos SCD. Restamos la primera ecuación a las demás para simplificar: 1) $(a^2-2)x + 2y + z = a+2$ 2) $2y + az = 4 \quad \text{(E}_2 - \text{E}_1)$ 3) $(1-a)z = \sqrt{2}-2 \quad \text{(E}_3 - \text{E}_1)$ De la ecuación 3: $$z = \frac{\sqrt{2}-2}{1-a} = \frac{2-\sqrt{2}}{a-1}$$ Sustituimos $z$ en la ecuación 2: $$2y = 4 - az = 4 - a\left(\frac{2-\sqrt{2}}{a-1}\right) = \frac{4a-4-2a+a\sqrt{2}}{a-1} = \frac{2a-4+a\sqrt{2}}{a-1}$$ $$y = \frac{2a-4+a\sqrt{2}}{2(a-1)}$$ Sustituimos $y$ y $z$ en la ecuación 1 para hallar $x$: $$(a^2-2)x = a+2 - (2+\sqrt{2}) = a-\sqrt{2} \implies (a-\sqrt{2})(a+\sqrt{2})x = a-\sqrt{2} \implies x = \frac{1}{a+\sqrt{2}}$$ ✅ **Resultado (SCD):** $$\boxed{x = \frac{1}{a+\sqrt{2}}, \quad y = \frac{2a-4+a\sqrt{2}}{2(a-1)}, \quad z = \frac{2-\sqrt{2}}{a-1}}$$

Si $a = \sqrt{2}$, la primera columna de coeficientes desaparece ($a^2-2 = 0$). El sistema queda: $$\begin{cases} 2y + z = \sqrt{2} + 2 \\ 4y + (\sqrt{2}+1)z = \sqrt{2} + 6 \\ 2y + (2-\sqrt{2})z = 2\sqrt{2} \end{cases}$$ Tomamos $x = \lambda$ como parámetro libre. De la primera y tercera ecuación: $(E_1 - E_3) \implies z - (2-\sqrt{2})z = \sqrt{2}+2 - 2\sqrt{2} \implies (\sqrt{2}-1)z = 2-\sqrt{2}$ $$z = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}$$ Sustituyendo $z$ en $E_1$: $2y + \sqrt{2} = \sqrt{2} + 2 \implies 2y = 2 \implies y = 1$ ✅ **Resultado (SCI para $a=\sqrt{2}$):** $$\boxed{x = \lambda, \quad y = 1, \quad z = \sqrt{2} \quad (\forall \lambda \in \mathbb{R})}$$

El resultado teórico empleado es el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Este teorema permite determinar la naturaleza de un sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$): - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$, el sistema es compatible determinado. - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$, el sistema es compatible indeterminado. - Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es incompatible. Su uso está justificado porque el sistema depende de un parámetro que altera la independencia lineal de las ecuaciones, y el rango es la herramienta métrica para evaluar dicha independencia.