Probabilidad, independencia y distribución binomial

**a) (1 punto) Calcular $P(Y)$.** El enunciado nos indica que los sucesos $X$ e $Y$ son **independientes**. Una propiedad fundamental de la independencia es que, si $X$ e $Y$ son independientes, entonces $X$ y $\overline{Y}$ también lo son. Por la definición de independencia: $$P(X \cap \overline{Y}) = P(X) \cdot P(\overline{Y})$$ Sustituimos los valores conocidos ($P(X) = 0.4$ y $P(X \cap \overline{Y}) = 0.08$): $$0.08 = 0.4 \cdot P(\overline{Y})$$ Despejamos $P(\overline{Y})$: $$P(\overline{Y}) = \frac{0.08}{0.4} = 0.2$$ Finalmente, calculamos $P(Y)$ utilizando la propiedad del suceso complementario: $$P(Y) = 1 - P(\overline{Y}) = 1 - 0.2 = 0.8$$ 💡 **Tip:** Si dos sucesos son independientes, la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades individuales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y) = 0.8}$$

**b) (0.5 puntos) Calcular $P(X \cup Y)$.** Utilizamos la fórmula general para la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$$ Como sabemos que los sucesos son independientes, calculamos la intersección como: $$P(X \cap Y) = P(X) \cdot P(Y) = 0.4 \cdot 0.8 = 0.32$$ Sustituimos en la fórmula de la unión: $$P(X \cup Y) = 0.4 + 0.8 - 0.32$$ $$P(X \cup Y) = 1.2 - 0.32 = 0.88$$ 💡 **Tip:** No olvides restar la intersección en la fórmula de la unión para no contar dos veces la parte común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \cup Y) = 0.88}$$

**c) (1 punto) Si $X$ es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando NO sucede $X$, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.** Definimos el suceso "éxito" como $S = \overline{X}$. La probabilidad de éxito en cada realización individual es: $$p = P(\overline{X}) = 1 - P(X) = 1 - 0.4 = 0.6$$ Se repite el experimento $n = 8$ veces de forma independiente. Sea $K$ la variable aleatoria que cuenta el número de éxitos en las 8 repeticiones. $K$ sigue una **distribución binomial**: $$K \sim B(n, p) \implies K \sim B(8, \, 0.6)$$ Nos piden calcular la probabilidad de tener al menos 2 éxitos: $P(K \ge 2)$. 💡 **Tip:** La distribución binomial $B(n, p)$ se usa cuando tenemos $n$ ensayos independientes con la misma probabilidad de éxito $p$.

Calcular $P(K \ge 2)$ directamente implicaría sumar $P(K=2) + P(K=3) + \dots + P(K=8)$. Es mucho más sencillo utilizar el **suceso complementario**: $$P(K \ge 2) = 1 - P(K < 2) = 1 - [P(K=0) + P(K=1)]$$ Recordamos la fórmula de la binomial $P(K=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$: 1. Para $k=0$: $$P(K=0) = \binom{8}{0} (0.6)^0 (0.4)^8 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00065536 = 0.00065536$$ 2. Para $k=1$: $$P(K=1) = \binom{8}{1} (0.6)^1 (0.4)^7 = 8 \cdot 0.6 \cdot 0.0016384 = 0.00786432$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P(K < 2) = 0.00065536 + 0.00786432 = 0.00851968$$ Finalmente: $$P(K \ge 2) = 1 - 0.00851968 = 0.99148032$$ 💡 **Tip:** El uso del complementario es casi obligatorio en expresiones de tipo "al menos..." para ahorrar cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(K \ge 2) \approx 0.9915}$$