Geometría en el espacio: Paralelogramos y Rectas Perpendiculares

**a) (1 punto) Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento $AC$ y es perpendicular a los segmentos $AC$ y $BC$.** Primero, calculamos las coordenadas del punto medio $M$ del segmento $AC$ utilizando la fórmula del punto medio: $$M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right)$$ Sustituyendo los valores de $A(1, 0, -1)$ y $C(4, 3, -2)$: $$M = \left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{-1 - 2}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2} \right)$$ En decimales, el punto es $M(2.5, 1.5, -1.5)$. 💡 **Tip:** El punto medio es simplemente el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos.

La recta que buscamos es perpendicular a los segmentos $AC$ y $BC$. Por tanto, su vector director $\vec{v}_r$ debe ser el producto vectorial de los vectores $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{BC}$. Calculamos los vectores: $$\overrightarrow{AC} = C - A = (4-1, 3-0, -2-(-1)) = (3, 3, -1)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (4-2, 3-1, -2-0) = (2, 2, -2)$$ Ahora realizamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 3 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante la regla de Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i} [3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2] - \vec{j} [3 \cdot (-2) - (-1) \cdot 2] + \vec{k} [3 \cdot 2 - 3 \cdot 2]$$ $$\vec{v}_r = \vec{i} [-6 + 2] - \vec{j} [-6 + 2] + \vec{k} [6 - 6] = -4\vec{i} + 4\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{v}_r = (-4, 4, 0)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 4 para obtener un vector proporcional más sencillo: $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector perpendicular a ambos simultáneamente.

Con el punto $M(2.5, 1.5, -1.5)$ y el vector director $\vec{v}_r(-1, 1, 0)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r: \begin{cases} x = 2.5 - \lambda \\ y = 1.5 + \lambda \\ z = -1.5 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ O en forma continua: $$\frac{x - 2.5}{-1} = \frac{y - 1.5}{1}; \quad z = -1.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: (x, y, z) = (2.5, 1.5, -1.5) + \lambda(-1, 1, 0)}$$

**b) (1 punto) Hallar las coordenadas del vértice $D$ y el área del paralelogramo resultante.** En un paralelogramo $ABCD$ (vértices en orden), se debe cumplir que el vector $\overrightarrow{AB}$ es igual al vector $\overrightarrow{DC}$: $$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$$ Calculamos $\overrightarrow{AB}$: $$\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1, 1-0, 0-(-1)) = (1, 1, 1)$$ Si llamamos $D(x, y, z)$, entonces $\overrightarrow{DC} = (4-x, 3-y, -2-z)$. Igualamos: $$(1, 1, 1) = (4-x, 3-y, -2-z)$$ Resolvemos componente a componente: 1) $1 = 4 - x \implies x = 3$ 2) $1 = 3 - y \implies y = 2$ 3) $1 = -2 - z \implies z = -3$ Por tanto, el vértice es $D(3, 2, -3)$. 💡 **Tip:** En un paralelogramo, los vectores formados por lados opuestos deben ser idénticos si se mantienen el sentido y la dirección. ✅ **Resultado (Vértice D):** $$\boxed{D(3, 2, -3)}$$

El área de un paralelogramo definido por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}$ es el módulo de su producto vectorial. Ya tenemos $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$. Calculamos $\overrightarrow{AD}$: $$\overrightarrow{AD} = D - A = (3-1, 2-0, -3-(-1)) = (2, 2, -2)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2-2) - \vec{j}(-2-2) + \vec{k}(2-2) = (-4, 4, 0)$$ El área es el módulo de este vector: $$\text{Área} = |(-4, 4, 0)| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial de dos vectores que comparten origen representa el área del paralelogramo que forman. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 4\sqrt{2} \approx 5.66 \text{ u}^2}$$

**c) (0.5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$.** Utilizamos la definición de producto escalar: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\alpha)$$ Despejamos el coseno: $$\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}$$ Calculamos los elementos necesarios: - $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 1)$ - $\overrightarrow{AC} = (3, 3, -1)$ - $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1)(3) + (1)(3) + (1)(-1) = 3 + 3 - 1 = 5$ - $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ - $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$ Sustituimos: $$\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{19}} = \frac{5}{\sqrt{57}}$$ Opcionalmente, racionalizamos: $$\cos(\alpha) = \frac{5\sqrt{57}}{57}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos(\alpha) = \frac{5}{\sqrt{57}} \approx 0.662}$$