Análisis de la potencia y energía de una pila

**a) (0.5 puntos) Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento indefinidamente.** Para saber hacia qué valor tiende la potencia cuando el tiempo de funcionamiento es indefinido, debemos calcular el límite de la función $P(t)$ cuando $t \to +\infty$: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} 25 t e^{-t^2/4} = \lim_{t \to +\infty} \frac{25t}{e^{t^2/4}}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{25}{\frac{2t}{4} e^{t^2/4}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{25}{\frac{t}{2} e^{t^2/4}}$$ Como el denominador tiende a infinito y el numerador es una constante: $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la exponencial de crecimiento positivo ($e^{t^2}$) siempre domina a cualquier polinomio ($t$) en el infinito, por lo que el límite tiende a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La potencia tiende a 0}}$$

**b) (0.75 puntos) Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $P'(t)$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$P(t) = 25 t e^{-t^2/4}$$ $$P'(t) = 25 \cdot \left[ 1 \cdot e^{-t^2/4} + t \cdot e^{-t^2/4} \cdot \left( -\frac{2t}{4} \right) \right]$$ $$P'(t) = 25 e^{-t^2/4} \left( 1 - \frac{t^2}{2} \right)$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$25 e^{-t^2/4} \left( 1 - \frac{t^2}{2} \right) = 0$$ Como $25 e^{-t^2/4}$ nunca es cero, resolvemos: $$1 - \frac{t^2}{2} = 0 \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2} \text{ (ya que } t > 0)$$ 💡 **Tip:** Para optimizar una función, buscamos dónde su derivada es nula y analizamos el crecimiento/decrecimiento a su alrededor.

Analizamos el signo de $P'(t)$ para confirmar que en $t = \sqrt{2}$ hay un máximo: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, +\infty)\\ \hline P'(t) & + & 0 & - \\ P(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ - En $(0, \sqrt{2})$, tomamos $t=1$: $P'(1) = 25e^{-1/4}(1-1/2) \gt 0$. - En $(\sqrt{2}, +\infty)$, tomamos $t=2$: $P'(2) = 25e^{-1}(1-2) \lt 0$. El instante en el que se alcanza el máximo es **$t = \sqrt{2}$**. Calculamos el valor de la potencia máxima: $$P(\sqrt{2}) = 25 \sqrt{2} e^{-(\sqrt{2})^2/4} = 25 \sqrt{2} e^{-2/4} = 25 \sqrt{2} e^{-1/2} = \frac{25\sqrt{2}}{\sqrt{e}}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Instante: } t = \sqrt{2} \approx 1.414, \text{ Potencia máx: } P = \frac{25\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \approx 21.46}$$

**c) (1.25 puntos) La energía total generada por la pila hasta el instante $t, E(t)$, se relaciona con la potencia mediante $E'(t) = P(t)$, con $E(0) = 0$. Calcular la energía producida por la pila entre el instante $t = 0$ y el instante $t = 2$.** La energía producida entre $t=0$ y $t=2$ viene dada por la integral definida de la potencia: $$E = \int_{0}^{2} P(t) \, dt = \int_{0}^{2} 25 t e^{-t^2/4} \, dt$$ Observamos que la integral es casi inmediata, pues la derivada del exponente $-t^2/4$ es $-2t/4 = -t/2$. Ajustamos los coeficientes: $$\int 25 t e^{-t^2/4} \, dt = 25 \int t e^{-t^2/4} \, dt = 25 \cdot (-2) \int -\frac{t}{2} e^{-t^2/4} \, dt$$ $$= -50 e^{-t^2/4} + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula $\int f'(x) e^{f(x)} dx = e^{f(x)} + C$. Aquí $f(t) = -t^2/4$.

Aplicamos la Regla de Barrow para evaluar la integral entre los límites $0$ y $2$: $$E = \left[ -50 e^{-t^2/4} \right]_{0}^{2} = \left( -50 e^{-2^2/4} \right) - \left( -50 e^{-0^2/4} \right)$$ $$E = -50 e^{-1} - (-50 e^0) = -\frac{50}{e} + 50 = 50 \left( 1 - \frac{1}{e} \right)$$ Calculando el valor numérico aproximado: $$E \approx 50 (1 - 0.3678) = 50 (0.6322) \approx 31.61$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Energía} = 50\left(1 - \frac{1}{e}\right) \approx 31.61}$$