Inversa, operaciones matriciales y determinante

**a) (1 puntos) Calcular, si es posible, la inversa de la matriz $A$.** Para que una matriz cuadrada tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 \cdot 1) + (-1 \cdot -1 \cdot 1) + (2 \cdot 2 \cdot 0) - [ (1 \cdot 1 \cdot 2) + (0 \cdot -1 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot -1) ]$$ $$|A| = 0 + 1 + 0 - [ 2 + 0 - 2 ] = 1 - 0 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz $A$ es regular y **existe su inversa**. 💡 **Tip:** Una matriz es invertible (o regular) si y solo si su determinante es distinto de cero. Si fuera cero, diríamos que la matriz es singular.

Para hallar $A^{-1}$ utilizaremos la fórmula: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} [Adj(A)]^t$$ Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(2+1) = -3 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -(-4) = 4 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$$

Trasponemos la matriz adjunta y dividimos por el determinante (que en este caso es 1): $$[Adj(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=1$, la inversa coincide con la adjunta traspuesta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 4 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Calcular la matriz $C = A^2 - 2 I$.** Primero calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $c_{11} = 0(0) + (-1)(2) + 2(1) = 0$ - $c_{12} = 0(-1) + (-1)(1) + 2(0) = -1$ - $c_{13} = 0(2) + (-1)(-1) + 2(1) = 3$ - $c_{21} = 2(0) + 1(2) + (-1)(1) = 1$ - $c_{22} = 2(-1) + 1(1) + (-1)(0) = -1$ - $c_{23} = 2(2) + 1(-1) + (-1)(1) = 2$ - $c_{31} = 1(0) + 0(2) + 1(1) = 1$ - $c_{32} = 1(-1) + 0(1) + 1(0) = -1$ - $c_{33} = 1(2) + 0(-1) + 1(1) = 3$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Ahora restamos $2I$: $$C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ $$C = \begin{pmatrix} 0-2 & -1-0 & 3-0 \\ 1-0 & -1-2 & 2-0 \\ 1-0 & -1-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{C = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) (1 punto) Calcular el determinante de la matriz $D = AB B^t$.** Podemos usar la propiedad de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes: $$|D| = |A \cdot B \cdot B^t| = |A| \cdot |B \cdot B^t|$$ Como ya sabemos que $|A| = 1$, solo necesitamos hallar el determinante de $B B^t$. Calculamos primero el producto $B B^t$, siendo $B$ de dimensión $3 \times 2$ y $B^t$ de $2 \times 3$: $$B B^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+1 & 2+0 & 0-1 \\ 2+0 & 1+0 & 0+0 \\ 0-1 & 0+0 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos su determinante: $$|B B^t| = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (5 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot -1) + (-1 \cdot 2 \cdot 0) - [ (-1 \cdot 1 \cdot -1) + (0 \cdot 0 \cdot 5) + (1 \cdot 2 \cdot 2) ]$$ $$|B B^t| = 5 + 0 + 0 - [ 1 + 0 + 4 ] = 5 - 5 = 0$$ Finalmente: $$|D| = |A| \cdot |B B^t| = 1 \cdot 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una matriz de dimensiones $n \times m$ (con $n \gt m$) se multiplica por su traspuesta, la matriz resultante $n \times n$ siempre tendrá determinante cero porque su rango máximo es $m$. Aquí $B$ es $3 \times 2$, por lo que $B B^t$ tiene rango máximo 2 y su determinante $3 \times 3$ debe ser 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|D| = 0}$$