Probabilidad en urnas y extracciones sucesivas

Para resolver este problema, primero definimos los sucesos principales: - $A, B, C$: Elegir la urna $A$, $B$ o $C$ respectivamente. Como se elige al azar, $P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$. - $R_i$: La bola extraída en la posición $i$ es roja ($i=1, 2$). - $N_i$: La bola extraída en la posición $i$ es negra ($i=1, 2$). Analizamos la composición de las urnas: - Urna $A$: 4 Rojas, 2 Negras (Total: 6). - Urna $B$: 3 Rojas, 3 Negras (Total: 6). - Urna $C$: 0 Rojas, 6 Negras (Total: 6). Representamos la primera extracción en un árbol de probabilidad:

**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La primera bola roja puede venir de la urna $A$ o de la urna $B$ (en la $C$ no hay rojas): $$P(R_1) = P(A) \cdot P(R_1|A) + P(B) \cdot P(R_1|B) + P(C) \cdot P(R_1|C)$$ Sustituimos los valores conocidos: - $P(R_1|A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ - $P(R_1|B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ - $P(R_1|C) = \frac{0}{6} = 0$ $$P(R_1) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 0 \right)$$ $$P(R_1) = \frac{2}{9} + \frac{1}{6} = \frac{4}{18} + \frac{3}{18} = \frac{7}{18}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para sumar fracciones debemos buscar un denominador común. El mínimo común múltiplo de 9 y 6 es 18. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1) = \frac{7}{18} \approx 0.3889}$$

**b) (1 punto) Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.** Buscamos $P(R_1 \cap N_2)$. Como las extracciones son **sin reemplazamiento**, la composición de la urna cambia tras la primera bola. $$P(R_1 \cap N_2) = P(A \cap R_1 \cap N_2) + P(B \cap R_1 \cap N_2) + P(C \cap R_1 \cap N_2)$$ Calculamos cada rama: - **Urna A:** $P(A) \cdot P(R_1|A) \cdot P(N_2|A \cap R_1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{90}$ *(Tras sacar una roja de A, quedan 3 rojas y 2 negras de un total de 5)* - **Urna B:** $P(B) \cdot P(R_1|B) \cdot P(N_2|B \cap R_1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{90}$ *(Tras sacar una roja de B, quedan 2 rojas y 3 negras de un total de 5)* - **Urna C:** $P(C) \cdot P(R_1|C) \cdot P(N_2|C \cap R_1) = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot \dots = 0$ Sumamos las probabilidades: $$P(R_1 \cap N_2) = \frac{8}{90} + \frac{9}{90} = \frac{17}{90}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R_1 \cap N_2) = \frac{17}{90} \approx 0.1889}$$

**c) (0.5 puntos) Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea negra.** Se nos pide la probabilidad condicionada $P(N_2 | R_1)$. Por definición de probabilidad condicionada: $$P(N_2 | R_1) = \frac{P(R_1 \cap N_2)}{P(R_1)}$$ Ya tenemos ambos valores de los apartados anteriores: - $P(R_1 \cap N_2) = \frac{17}{90}$ - $P(R_1) = \frac{7}{18}$ Sustituimos: $$P(N_2 | R_1) = \frac{17/90}{7/18} = \frac{17 \cdot 18}{90 \cdot 7}$$ Simplificamos dividiendo 18 y 90 entre 18 ($90 = 18 \cdot 5$): $$P(N_2 | R_1) = \frac{17 \cdot 1}{5 \cdot 7} = \frac{17}{35}$$ 💡 **Tip:** No confundas $P(N_2 | R_1)$ (probabilidad global condicionada) con las probabilidades de las ramas individuales del árbol (donde la urna ya es conocida). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N_2 | R_1) = \frac{17}{35} \approx 0.4857}$$