Geometría en el espacio: planos, simetría y áreas

**a) (0.75 puntos) Escribir la ecuación del plano que contiene al punto $P$ y a la recta $r$.** Primero, identificamos un punto $R$ y el vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ dada por la ecuación continua: $$r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{0}$$ - El punto de la recta es $R(2, 0, -1)$. - El vector director es $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(a, b, c)$. Si un denominador es $0$, la componente del vector es $0$.

Para definir el plano $\pi$ que contiene a $P(3, 3, 0)$ y a $r$, necesitamos un punto ($P$) y dos vectores directores no paralelos contenidos en él. Los vectores serán: 1. El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. 2. El vector que une el punto $P$ con el punto $R$ de la recta: $$\vec{RP} = P - R = (3-2, 3-0, 0-(-1)) = (1, 3, 1).$$ La ecuación general del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x-3 & y-3 & z-0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por Sarrus: $$(x-3)(1\cdot 1 - 0\cdot 3) - (y-3)(-1\cdot 1 - 0\cdot 1) + z(-1\cdot 3 - 1\cdot 1) = 0$$ $$(x-3)(1) - (y-3)(-1) + z(-4) = 0$$ $$x - 3 + y - 3 - 4z = 0 \implies x + y - 4z - 6 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv x + y - 4z - 6 = 0}$$

**b) (1 punto) Calcular el punto simétrico de $P$ respecto de $r$.** Para hallar el simétrico $P'$ de $P$ respecto a una recta $r$, primero debemos hallar la proyección ortogonal $M$ de $P$ sobre $r$. Creamos un plano auxiliar $\pi'$ que pase por $P(3, 3, 0)$ y sea perpendicular a la recta $r$. El vector normal del plano $\vec{n}_{\pi'}$ será el vector director de la recta $\vec{v}_r = (-1, 1, 0)$. La ecuación del plano es: $$-1(x - 3) + 1(y - 3) + 0(z - 0) = 0$$ $$-x + 3 + y - 3 = 0 \implies -x + y = 0 \implies x - y = 0$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico no se debe calcular con fórmulas directas; el proceso didáctico consiste en proyectar el punto sobre la recta para obtener el punto medio del segmento $PP'$.

El punto $M$ es la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi' \equiv x - y = 0$. Expresamos la recta $r$ en paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -1 \end{cases}$$ Sustituimos en la ecuación del plano $\pi'$: $$(2 - \lambda) - \lambda = 0 \implies 2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$ para hallar $M$: $$M(2-1, 1, -1) = M(1, 1, -1)$$ $M$ es el **pie de la perpendicular** desde $P$ a $r$.

El punto $M(1, 1, -1)$ es el punto medio del segmento $PP'$, donde $P(3, 3, 0)$ y $P'(x', y', z')$. Por la fórmula del punto medio: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Calculamos las coordenadas de $P'$: $$x' = 2(1) - 3 = -1$$ $$y' = 2(1) - 3 = -1$$ $$z' = 2(-1) - 0 = -2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-1, -1, -2)}$$

**c) (0.75 puntos) Hallar dos puntos $A$ y $B$ de $r$ tales que el triángulo $ABP$ sea rectángulo, tenga área $\frac{3}{\sqrt{2}}$ y el ángulo recto en $A$.** Si el triángulo $ABP$ es rectángulo con el ángulo recto en $A$, y los puntos $A$ y $B$ están en la recta $r$, entonces el segmento $PA$ debe ser perpendicular a la recta $r$. Esto implica que **el punto $A$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$**. Según calculamos en el apartado anterior: $$\boxed{A(1, 1, -1)}$$ El área del triángulo rectángulo es: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{PA}|$$ Calculamos el vector $\vec{PA}$ y su módulo (la altura): $$\vec{PA} = A - P = (1-3, 1-3, -1-0) = (-2, -2, -1)$$ $$|\vec{PA}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

Sustituimos el área y la altura en la fórmula: $$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot 3 \implies \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \implies |\vec{AB}| = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ El punto $B$ pertenece a $r$, por lo que tiene la forma $B(2-\lambda, \lambda, -1)$. Buscamos los valores de $\lambda$ tales que la distancia $d(A, B) = \sqrt{2}$: $$\vec{AB} = B - A = (2-\lambda-1, \lambda-1, -1-(-1)) = (1-\lambda, \lambda-1, 0)$$ $$|\vec{AB}| = \sqrt{(1-\lambda)^2 + (\lambda-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2(\lambda-1)^2} = |\lambda-1|\sqrt{2}$$ Igualamos: $$|\lambda-1|\sqrt{2} = \sqrt{2} \implies |\lambda-1| = 1$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $\lambda - 1 = 1 \implies \lambda = 2 \implies B_1(2-2, 2, -1) = B_1(0, 2, -1)$ 2. $\lambda - 1 = -1 \implies \lambda = 0 \implies B_2(2-0, 0, -1) = B_2(2, 0, -1)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(1, 1, -1), \quad B_1(0, 2, -1), \quad B_2(2, 0, -1)}$$