Estudio de continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) (0.5 puntos) Calcular $f(0)$ y $(f \circ f)(0)$.** Para calcular $f(0)$, observamos en qué rama se encuentra el valor $x=0$. Como $0 \lt 1$ y $0 \neq -1$, utilizamos la primera rama: $$f(0) = \frac{0 - 1}{0^2 - 1} = \frac{-1}{-1} = 1.$$ Para calcular la composición $(f \circ f)(0)$, aplicamos la definición: $$(f \circ f)(0) = f(f(0)).$$ Como ya sabemos que $f(0) = 1$, debemos calcular $f(1)$. El valor $x=1$ pertenece a la segunda rama ($x \geq 1$): $$f(1) = \frac{1^2 + 1}{4(1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$ 💡 **Tip:** En las funciones a trozos, lo primero es identificar en qué intervalo cae el valor de $x$ para elegir la expresión correcta. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(0) = 1, \quad (f \circ f)(0) = \frac{1}{2}}$$

**b) (1.25 puntos) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x = 1$ y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.** Para que $f(x)$ sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1. **Valor de la función:** $f(1) = \frac{1^2+1}{4\cdot 1} = \frac{1}{2}$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 1^-$):** $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x-1}{x^2-1} = \left[ \frac{0}{0} \right].$$ Simplificamos la expresión factorizando el denominador: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 1^+$):** $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{4x} = \frac{1^2+1}{4(1)} = \frac{1}{2}.$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1/2$, la función **es continua en $x=1$**. 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar la continuidad. Si una función no es continua, no puede ser derivable.

Calculamos la derivada de cada rama para valores distintos de 1: - Para $x \lt 1, x \neq -1$, usamos la forma simplificada $f(x) = \frac{1}{x+1}$: $$f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}.$$ - Para $x \gt 1$: $$f'(x) = \frac{2x(4x) - (x^2+1)4}{(4x)^2} = \frac{8x^2 - 4x^2 - 4}{16x^2} = \frac{4x^2 - 4}{16x^2} = \frac{x^2 - 1}{4x^2}.$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en $x=1$: - $f'(1^-) = \frac{-1}{(1+1)^2} = -\frac{1}{4}$. - $f'(1^+) = \frac{1^2 - 1}{4(1)^2} = 0$. Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable en $x=1$** (es un punto anguloso). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Continua en } x=1, \text{ No derivable en } x=1}$$

Para ver si hay un extremo en $x=1$, analizamos el signo de la derivada (monotonía) a ambos lados del punto: - En un entorno a la izquierda de $1$ ($x \in (-1, 1)$): $f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$. Como el denominador es positivo y el numerador es negativo, $f'(x) \lt 0$. La función es **decreciente**. - En un entorno a la derecha de $1$ ($x \in (1, +\infty)$): $f'(x) = \frac{x^2-1}{4x^2}$. Para $x \gt 1$, $x^2-1 \gt 0$, por lo que $f'(x) \gt 0$. La función es **creciente**. Como la función es continua en $x=1$, pasa de decrecer a crecer, por lo que presenta un **mínimo relativo**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & - & \nexists & + \\\hline \text{Comportamiento} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe un mínimo relativo en } x=1}$$

**c) (0.75 puntos) Estudiar sus asíntotas.** **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos puntos donde la función no esté definida o el límite sea infinito. - En la primera rama ($x \lt 1$), el denominador $x^2-1$ se anula en $x=1$ (ya estudiado) y $x=-1$. $$\lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{0} = \infty.$$ Por tanto, **$x = -1$ es una asíntota vertical**. - En la segunda rama ($x \geq 1$), el denominador $4x$ se anula en $x=0$, pero $0$ no pertenece al intervalo $[1, +\infty)$. No hay más AV. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -1}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** - **Cuando $x \to -\infty$ (primera rama):** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x-1}{x^2-1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2} = 0.$$ Hay una asíntota horizontal en **$y = 0$** cuando $x \to -\infty$. - **Cuando $x \to +\infty$ (segunda rama):** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{4x} = +\infty.$$ No hay asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0 \text{ (cuando } x \to -\infty\text{)}}$$

**Asíntotas Oblicuas (AO):** Como hay AH cuando $x \to -\infty$, no buscamos AO ahí. Buscamos cuando $x \to +\infty$ ($y = mx + n$): $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{4x^2} = \frac{1}{4}.$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2+1}{4x} - \frac{1}{4}x \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1-x^2}{4x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{4x} = 0.$$ Hay una asíntota oblicua en **$y = \frac{1}{4}x$** cuando $x \to +\infty$. 💡 **Tip:** Si el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, existe asíntota oblicua. ✅ **Resultado final (asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x=-1; \quad \text{AH: } y=0 \text{ (izq)}; \quad \text{AO: } y=\frac{1}{4}x \text{ (der)}}$$