Estudio de propiedades de una matriz y sistemas lineales

**a) (0.5 puntos) La tercera fila de $A$ es combinación lineal de las dos primeras.** Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ a & b & c & d \end{pmatrix}$. Denotamos a las filas como $F_1, F_2$ y $F_3$. Para que $F_3$ sea combinación lineal de $F_1$ y $F_2$, debe existir una relación del tipo $F_3 = \alpha F_1 + \beta F_2$. Elegimos, por ejemplo, $\alpha = 1$ y $\beta = 1$: $$F_3 = F_1 + F_2 = (1+1, 1+2, 1+3, 1+4) = (2, 3, 4, 5)$$ Comprobamos que no hay ningún cero en esta fila, cumpliendo la restricción del enunciado. La matriz resultante es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Una fila es combinación lineal de otras si se puede obtener sumando dichas filas multiplicadas por números reales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}}$$

**b) (0.5 puntos) Las tres filas de $A$ son linealmente independientes.** Para que las tres filas sean linealmente independientes, el rango de la matriz $A$ debe ser 3. Esto ocurre si existe al menos un menor de orden 3 distinto de cero. Elegimos una tercera fila que no sea combinación lineal de las anteriores y que no contenga ceros, por ejemplo: $F_3 = (1, 1, 2, 1)$. Para justificarlo, calculamos el determinante del menor formado por las tres primeras columnas: $$\left| M \right| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$\left| M \right| = (1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$\left| M \right| = (4 + 3 + 1) - (2 + 3 + 2) = 8 - 7 = 1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, el rango de $A$ es 3 y las filas son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**c) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.** Si $A$ es la matriz ampliada de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, la matriz tendrá la forma $(M | B)$, donde $M$ es la matriz de coeficientes ($3 \times 3$) y $B$ el término independiente ($3 \times 1$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que el sistema sea Compatible Determinado se debe cumplir: $$rg(M) = rg(A) = n \text{ (nº de incógnitas)}$$ Como hay 3 incógnitas, necesitamos que $rg(M) = 3$. Utilizamos el ejemplo del apartado anterior $F_3 = (1, 1, 2, 1)$: $$A = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Ya hemos comprobado que $|M| = 1 \neq 0$, por lo que $rg(M) = 3$. Dado que el rango de la ampliada no puede ser mayor que el número de filas, $rg(A) = 3$ también. 💡 **Tip:** En un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas, si el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo, el sistema siempre es Compatible Determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**d) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.** Para que sea un SCI, según Rouché-Frobenius, se debe cumplir: $$rg(M) = rg(A) < n$$ Con $n = 3$, buscamos que $rg(M) = rg(A) = 2$. Esto sucede si $F_3$ es combinación lineal de $F_1$ y $F_2$ en toda la matriz $A$. Usamos el ejemplo del apartado (a): $F_3 = (2, 3, 4, 5)$. $$A = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{array}\right)$$ - $rg(M)$: El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$, luego $rg(M) \ge 2$. Como $F_3 = F_1 + F_2$ en las tres primeras columnas, $|M| = 0$ y $rg(M) = 2$. - $rg(A)$: Como la relación $F_3 = F_1 + F_2$ se mantiene en la cuarta columna (términos independientes), el rango de la ampliada también es 2. Al ser $rg(M) = rg(A) = 2 < 3$, el sistema es Compatible Indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}}$$

**e) (0.5 puntos) $A$ es la matriz ampliada de un sistema incompatible.** Para que el sistema sea Incompatible, se debe cumplir: $$rg(M) \neq rg(A)$$ Normalmente esto implica $rg(M) = 2$ y $rg(A) = 3$. Buscamos una fila $F_3$ tal que sus tres primeros elementos sean combinación lineal de $F_1$ y $F_2$, pero el cuarto no. Partiendo de $F_1 = (1, 1, 1, 1)$ y $F_2 = (1, 2, 3, 4)$, definimos $F_3$ de modo que: - Sus 3 primeros elementos sean $1+1=2$, $1+2=3$, $1+3=4$. - Su 4º elemento sea distinto de $1+4=5$. Elegimos por ejemplo el $6$. $F_3 = (2, 3, 4, 6)$. La matriz es: $$A = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \end{array}\right)$$ Justificación: 1. $rg(M) = 2$ porque las dos primeras filas son LI y la tercera es suma de las dos primeras en $M$. 2. Para $rg(A)$, tomamos las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = (12 + 8 + 3) - (4 + 12 + 6) = 23 - 22 = 1 \neq 0$$ Luego $rg(A) = 3$. Como $rg(M) = 2 \neq rg(A) = 3$, el sistema es Incompatible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 6 \end{pmatrix}}$$