Probabilidad: Compatibilidad, Independencia y Leyes de De Morgan

**a) (0.5 puntos) Sea $C$ otro suceso, incompatible con $A$ y con $B$. ¿Son compatibles los sucesos $C$ y $A \cup B$?** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es el suceso vacío ($∅$), es decir, su probabilidad es $0$. Se nos indica que $C$ es incompatible con $A$ y con $B$, lo que significa: 1. $C \cap A = \emptyset \implies P(C \cap A) = 0$ 2. $C \cap B = \emptyset \implies P(C \cap B) = 0$ Queremos saber si $C$ y $A \cup B$ son compatibles. Para ello, analizamos su intersección aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto a la unión: $$C \cap (A \cup B) = (C \cap A) \cup (C \cap B)$$ Como ambos términos son el suceso vacío ($C \cap A = \emptyset$ y $C \cap B = \emptyset$): $$C \cap (A \cup B) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la compatibilidad se define por la existencia de elementos comunes. Si $C$ no tiene nada en común con $A$ ni con $B$, no puede tener nada en común con el conjunto formado por ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Son incompatibles (no son compatibles)}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Son $A$ y $B$ independientes?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Contamos con los siguientes datos: - $P(A) = 0.5$ - $P(B) = 0.25$ - $P(A \cap B) = 0.125$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot 0.25 = 0.125$$ Comparamos con la probabilidad de la intersección dada: $$P(A \cap B) = 0.125$$ Como $0.125 = 0.125$, se cumple la igualdad. 💡 **Tip:** La independencia implica que la ocurrencia de un suceso no altera la probabilidad de que ocurra el otro. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$

**c) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (donde $\bar{A}$ denota el suceso complementario al suceso $A$).** Para calcular $P(\bar{A} \cap \bar{B})$, utilizamos las **Leyes de De Morgan**, que establecen que la intersección de los complementarios es igual al complementario de la unión: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$$ Por tanto: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Primero calculamos $P(A \cup B)$ usando la fórmula de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.25 - 0.125 = 0.625$$ Ahora calculamos el complementario: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.625 = 0.375$$ 💡 **Tip:** Las Leyes de De Morgan son fundamentales: $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$ y $\bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cap B}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.375}$$

**d) (0.75 puntos) Calcular $P(\bar{B}|A)$.** Podemos resolver esto de dos formas. **Método 1: Usando la definición de probabilidad condicionada** $$P(\bar{B}|A) = \frac{P(\bar{B} \cap A)}{P(A)}$$ Sabemos que $P(\bar{B} \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$: $$P(\bar{B} \cap A) = 0.5 - 0.125 = 0.375$$ Entonces: $$P(\bar{B}|A) = \frac{0.375}{0.5} = 0.75$$ **Método 2: Usando la propiedad de independencia** En el apartado (b) demostramos que $A$ y $B$ son independientes. Si dos sucesos son independientes, también lo son sus complementarios con respecto a ellos. Por tanto, si $A$ y $B$ son independientes, entonces $A$ y $\bar{B}$ también lo son. Si $A$ y $\bar{B}$ son independientes, entonces: $$P(\bar{B}|A) = P(\bar{B})$$ Calculamos $P(\bar{B})$: $$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75$$ 💡 **Tip:** El uso de las propiedades de independencia simplifica mucho los cálculos en probabilidad condicionada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B}|A) = 0.75}$$