Proyecciones, paralelismo y perpendicularidad de planos

**a) (1 punto) Hallar la proyección de $Q$ sobre $\pi$.** La proyección de un punto $Q$ sobre un plano $\pi$ es el punto de intersección entre el plano y una recta $r$ que sea perpendicular a dicho plano y pase por $Q$. 1. **Hallamos el vector normal del plano:** El plano es $\pi: x + 2y - 3z = 4$, por lo que su vector normal es: $$\vec{n_\pi} = (1, 2, -3)$$ 2. **Construimos la recta $r$:** La recta $r$ pasa por $Q(-1, 0, 1)$ y tiene como vector director el vector normal del plano, $\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (1, 2, -3)$. Su ecuación paramétrica es: $$r: \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = 1 - 3\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la proyección de un punto sobre un plano es el "suelo" del punto si cayera verticalmente hacia el plano siguiendo su normal.

Para hallar el punto de intersección $Q'$, sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $$(-1 + \lambda) + 2(2\lambda) - 3(1 - 3\lambda) = 4$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$-1 + \lambda + 4\lambda - 3 + 9\lambda = 4$$ $$14\lambda - 4 = 4 \implies 14\lambda = 8 \implies \lambda = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$ Ahora, calculamos las coordenadas del punto proyectado $Q'$ sustituyendo $\lambda = \frac{4}{7}$ en las ecuaciones de $r$: - $x = -1 + \frac{4}{7} = -\frac{3}{7}$ - $y = 2\left(\frac{4}{7}\right) = \frac{8}{7}$ - $z = 1 - 3\left(\frac{4}{7}\right) = 1 - \frac{12}{7} = -\frac{5}{7}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q'\left(-\frac{3}{7}, \frac{8}{7}, -\frac{5}{7}\right)}$$

**b) (0.5 puntos) Escribir la ecuación del plano paralelo a $\pi$ que pasa por el punto $P$.** Dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal (o uno proporcional). Por tanto, el plano buscado $\pi'$ tendrá la forma: $$x + 2y - 3z + D = 0$$ Como debe pasar por el punto $P(-3, 1, 2)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$(-3) + 2(1) - 3(2) + D = 0$$ $$-3 + 2 - 6 + D = 0 \implies -7 + D = 0 \implies D = 7$$ 💡 **Tip:** La ecuación de todos los planos paralelos a $Ax+By+Cz+D=0$ es siempre de la forma $Ax+By+Cz+D'=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + 2y - 3z + 7 = 0}$$

**c) (1 punto) Escribir la ecuación del plano perpendicular a $\pi$ que contiene a los puntos $P$ y $Q$.** Para definir un plano $\sigma$ necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). 1. **Primer vector director:** El vector que une los puntos $P(-3, 1, 2)$ y $Q(-1, 0, 1)$: $$\vec{u} = \vec{PQ} = Q - P = (-1 - (-3), 0 - 1, 1 - 2) = (2, -1, -1)$$ 2. **Segundo vector director:** Como el plano $\sigma$ es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$ debe ser paralelo al plano $\sigma$: $$\vec{v} = \vec{n_\pi} = (1, 2, -3)$$ 3. **Vector normal del plano $\sigma$:** Calculamos el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\vec{n_\sigma} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n_\sigma} = \vec{i}[(-1)(-3) - (2)(-1)] - \vec{j}[(2)(-3) - (1)(-1)] + \vec{k}[(2)(2) - (1)(-1)]$$ $$\vec{n_\sigma} = \vec{i}(3 + 2) - \vec{j}(-6 + 1) + \vec{k}(4 + 1) = 5\vec{i} + 5\vec{j} + 5\vec{k}$$ Podemos usar como vector normal simplificado $\vec{n_\sigma} = (1, 1, 1)$. 4. **Ecuación del plano:** Usamos el punto $Q(-1, 0, 1)$: $$1(x - (-1)) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0$$ $$x + 1 + y + z - 1 = 0 \implies x + y + z = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y + z = 0}$$