Continuidad, derivabilidad y crecimiento de una función a trozos

**a) (0.5 puntos) Estudie su continuidad en $[-4, 4]$.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, analizamos la continuidad de cada rama y el punto de salto entre ellas. 1. **Rama 1 ($x < 1$):** $f(x) = (x-1)^2$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo su dominio, en particular en el intervalo $[-4, 1)$. 2. **Rama 2 ($x > 1$):** $f(x) = (x-1)^3$ es una función polinómica, por lo que es continua en $(1, 4]$. 3. **Punto de salto ($x = 1$):** Estudiamos los límites laterales y el valor de la función: - Valor de la función: $f(1) = (1-1)^2 = 0$. - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x-1)^2 = (1-1)^2 = 0$. - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x-1)^3 = (1-1)^3 = 0$. Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 0$, la función es continua en $x = 1$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen sus límites laterales, coinciden entre sí y con el valor de la función en dicho punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo el intervalo } [-4, 4]}$$

**b) (1 punto) Analice su derivabilidad y crecimiento en $[-4, 4]$.** Primero calculamos la derivada de la función en los intervalos abiertos donde las ramas son polinómicas: $$f'(x) = \begin{cases} 2(x-1) & \text{si } x < 1 \\ 3(x-1)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para comprobar si es derivable en el punto de salto $x = 1$, calculamos las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} 2(x-1) = 2(0) = 0$. - Derivada por la derecha: $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} 3(x-1)^2 = 3(0)^2 = 0$. Como $f'(1^-) = f'(1^+)$, la función es **derivable en $x = 1$** y su derivada es $f'(1) = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él. Como ya lo comprobamos en el apartado anterior, podemos proceder con las derivadas laterales. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } [-4, 4]}

Para estudiar el crecimiento, analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[-4, 4]$. Los posibles puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$: - Si $x < 1$: $2(x-1) = 0 \implies x = 1$ (no pertenece al intervalo abierto). - Si $x > 1$: $3(x-1)^2 = 0 \implies x = 1$ (no pertenece al intervalo abierto). - En $x = 1$: $f'(1) = 0$. Analizamos el signo en los intervalos determinados por el punto crítico $x = 1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & [-4, 1) & 1 & (1, 4] \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\\hline \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $[-4, 1)$: $f'(x) = 2(x-1) \lt 0$, la función es **decreciente**. - En $(1, 4]$: $f'(x) = 3(x-1)^2 \gt 0$, la función es **creciente**. ✅ **Resultado (Crecimiento):** $$\boxed{\text{Decreciente en } [-4, 1) \text{ y Creciente en } (1, 4]}$$

A continuación, se muestra la gráfica de la función $f(x)$ para visualizar su continuidad, derivabilidad y el mínimo relativo en $x=1$.

**c) (1 punto) Determine si la función $g(x) = f'(x)$ está definida, es continua y es derivable en $x = 1$.** Definimos la función $g(x)$ a partir de la derivada hallada en el apartado b): $$g(x) = f'(x) = \begin{cases} 2(x - 1) & \text{si } x \le 1 \\ 3(x - 1)^2 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ **1. ¿Está definida en $x = 1$?** Sí, como vimos en el apartado anterior, $f$ es derivable en $x=1$ con $f'(1) = 0$. Por tanto, $g(1) = 0$. **2. ¿Es continua en $x = 1$?** - $g(1) = 0$ - $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \lim_{x \to 1^-} 2(x-1) = 0$ - $\lim_{x \to 1^+} g(x) = \lim_{x \to 1^+} 3(x-1)^2 = 0$ Como los límites laterales coinciden con el valor de la función, **$g(x)$ es continua en $x = 1$**. **3. ¿Es derivable en $x = 1$?** Calculamos la derivada de $g(x)$ (que sería la segunda derivada de $f$): $$g'(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x < 1 \\ 6(x-1) & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Analizamos las derivadas laterales de $g$ en $x = 1$: - $g'(1^-) = 2$ - $g'(1^+) = 6(1-1) = 0$ Como $g'(1^-) \neq g'(1^+)$, la función **$g(x)$ no es derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{g(x) \text{ está definida y es continua en } x=1, \text{ pero NO es derivable en } x=1}$$