Problema de precios: Sistema de ecuaciones lineales

Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan lo que se nos pide (precio por kilo de cada pescado en euros): - $x$: Precio del kilo de **dorada** (€/kg). - $y$: Precio del kilo de **lubina** (€/kg). - $z$: Precio del kilo de **rodaballo** (€/kg). Es fundamental trabajar en las mismas unidades. Convertimos los datos de toneladas a kilos ($1 \text{ t} = 1000 \text{ kg}$) y los millones de euros a euros: - Cantidad de dorada: $13740 \text{ t} = 13,740,000 \text{ kg}$. - Cantidad de lubina: $23440 \text{ t} = 23,440,000 \text{ kg}$. - Cantidad de rodaballo: $7400 \text{ t} = 7,400,000 \text{ kg}$. - Valor total: $275.8 \text{ millones } € = 275,800,000 \text{ } €$. - Valor rodaballo: $63.6 \text{ millones } € = 63,600,000 \text{ } €$. 💡 **Tip:** En problemas con números muy grandes, es útil simplificar las ecuaciones dividiendo por potencias de 10, pero siempre manteniendo la coherencia en todas las variables.

El enunciado nos da directamente los datos necesarios para calcular el precio del rodaballo de forma independiente: $$7,400,000 \cdot z = 63,600,000$$ Despejamos $z$: $$z = \frac{63,600,000}{7,400,000} = \frac{63.6}{7.4} = \frac{636}{74} = \frac{318}{37} \approx 8.5946 \dots$$ Redondeando a los céntimos habituales en precios: $$\boxed{z \approx 8.59 \text{ €/kg}}$$

Utilizamos el resto de la información para establecer la relación entre la dorada ($x$) y la lubina ($y$). 1. **Valor total de las ventas:** La suma del valor de los tres pescados es 275.8 millones. $$13.74x + 23.44y + 63.6 = 275.8$$ (Hemos expresado las cantidades en millones de kilos y el valor en millones de euros para simplificar). Simplificamos la ecuación: $$13.74x + 23.44y = 212.2$$ 2. **Relación de precios:** El kilo de dorada es 11 céntimos ($0.11 \text{ €}$) más caro que el de lubina: $$x = y + 0.11$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de expresar los céntimos en euros ($11 \text{ cts} = 0.11 \text{ €}$) para que las unidades sean homogéneas con el resto de la ecuación.

Sustituimos la expresión de $x$ de la segunda ecuación en la primera: $$13.74(y + 0.11) + 23.44y = 212.2$$ Multiplicamos y agrupamos términos: $$13.74y + 1.5114 + 23.44y = 212.2$$ $$(13.74 + 23.44)y = 212.2 - 1.5114$$ $$37.18y = 210.6886$$ Calculamos el valor de $y$: $$y = \frac{210.6886}{37.18} = 5.6667...$$ Ahora hallamos $x$: $$x = 5.6667 + 0.11 = 5.7767...$$ 💡 **Tip:** En problemas de la PAU/EBAU basados en datos reales, a veces los decimales no son exactos. Se recomienda redondear al final a dos o tres cifras decimales.

Tras resolver el sistema y redondear a los céntimos de euro más cercanos, obtenemos los precios por kilo: - Precio de la **dorada** ($x$): **$5.78$ €/kg** - Precio de la **lubina** ($y$): **$5.67$ €/kg** - Precio del **rodaballo** ($z$): **$8.59$ €/kg** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Dorada: } 5.78 \text{ €/kg, Lubina: } 5.67 \text{ €/kg, Rodaballo: } 8.59 \text{ €/kg}}$$