Probabilidad de acierto y distribución binomial

**a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que el globo haya explotado sin necesidad de hacer el cuarto disparo.** Primero definimos los sucesos para cada disparo $i$: - $A_i$: El arquero acierta en el disparo $i$. - $\overline{A}_i$: El arquero falla en el disparo $i$. Las probabilidades dadas son: - $P(A_1) = 0.3 \implies P(\overline{A}_1) = 0.7$ - $P(A_2) = 0.4 \implies P(\overline{A}_2) = 0.6$ - $P(A_3) = 0.5 \implies P(\overline{A}_3) = 0.5$ - $P(A_4) = 0.6 \implies P(\overline{A}_4) = 0.4$ Podemos representar el proceso mediante un árbol de probabilidad. El globo explota en cuanto hay un acierto, deteniéndose los disparos:

Que el globo explote **sin necesidad del cuarto disparo** significa que ha explotado en el 1er, 2º o 3er lanzamiento. Es mucho más sencillo calcularlo mediante el complementario: $1 - P(\text{no explote en los 3 primeros})$. El globo no explota en los 3 primeros si falla los tres: $$P(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap \overline{A}_3) = P(\overline{A}_1) \cdot P(\overline{A}_2) \cdot P(\overline{A}_3)$$ $$P(\text{falla 3}) = 0.7 \cdot 0.6 \cdot 0.5 = 0.21$$ Por tanto: $$P(\text{explota en } 1, 2 \text{ o } 3) = 1 - 0.21 = 0.79$$ 💡 **Tip:** En problemas de "al menos uno" o sucesiones de intentos, el suceso contrario suele simplificar mucho los cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.79}$$

**b) (0.5 puntos) Calcular la probabilidad de que el globo siga intacto tras el cuarto disparo.** Para que el globo siga intacto tras 4 disparos, el arquero debe haber fallado todos y cada uno de los lanzamientos. Como los lanzamientos son sucesivos con probabilidades dadas: $$P(\text{Intacto}) = P(\overline{A}_1 \cap \overline{A}_2 \cap \overline{A}_3 \cap \overline{A}_4)$$ $$P(\text{Intacto}) = P(\overline{A}_1) \cdot P(\overline{A}_2) \cdot P(\overline{A}_3) \cdot P(\overline{A}_4)$$ Sustituimos los valores: $$P(\text{Intacto}) = 0.7 \cdot 0.6 \cdot 0.5 \cdot 0.4$$ $$P(\text{Intacto}) = 0.21 \cdot 0.4 = 0.084$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = 0.084}$$

**c) (1 punto) En una exhibición participan diez arqueros profesionales, que aciertan un 85% de sus lanzamientos. Calcular la probabilidad de que entre los 10 hayan explotado exactamente 6 globos al primer disparo.** En este escenario tenemos $n=10$ arqueros (experimentos independientes) donde cada uno tiene una probabilidad de éxito (explotar el globo al primer disparo) constante de $p=0.85$. Sea $X$ la variable aleatoria que cuenta el número de globos explotados al primer disparo. $X$ sigue una **Distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(10, 0.85)$$ La fórmula de la probabilidad binomial es: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ Donde: - $n = 10$ - $k = 6$ - $p = 0.85$ - $q = 1 - p = 0.15$ 💡 **Tip:** Identificamos una Binomial cuando tenemos un número fijo de ensayos independientes, cada uno con dos posibles resultados y probabilidad constante.

Aplicamos los valores a la fórmula: $$P(X=6) = \binom{10}{6} (0.85)^6 (0.15)^{10-6}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{10}{6} = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$$ Calculamos las potencias: $$(0.85)^6 \approx 0.37715$$ $$(0.15)^4 = 0.00050625$$ Multiplicamos todo: $$P(X=6) = 210 \cdot 0.37715 \cdot 0.00050625 \approx 0.0401$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X=6) \approx 0.0401}$$