Posición relativa de dos rectas y planos asociados

**a) (1 punto) Calcular la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Para determinar la posición relativa, primero obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos $\vec{n_1} = (1, -1, 0)$ y $\vec{n_2} = (3, 0, -1)$: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = \vec{i}((-1)(-1)) - \vec{j}((1)(-1) - (0)(3)) + \vec{k}((1)(0) - (-1)(3)) = \vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k}$$ $$\vec{v_r} = (1, 1, 3)$$ Para hallar un punto $P_r$, asignamos un valor a una de las coordenadas, por ejemplo $x = 0$: $$x=0 \implies \begin{cases} -y = 2 \to y = -2 \\ -z = -1 \to z = 1 \end{cases} \implies P_r(0, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada por dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

La recta $s$ está en forma paramétrica: $$s \equiv \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = -4 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos directamente el punto $P_s$ y su vector director $\vec{v_s}$: $$P_s(-1, -4, 0), \quad \vec{v_s} = (2, -1, 1)$$

1. **Comparamos los vectores directores:** $\vec{v_r} = (1, 1, 3)$ y $\vec{v_s} = (2, -1, 1)$. Observamos que no son proporcionales ($\frac{1}{2} \neq \frac{1}{-1}$), por lo que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. O se cortan o se cruzan. 2. **Estudiamos el rango de los vectores $\{\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_sP_r}\}$:** Calculamos el vector que une ambos puntos: $\vec{P_sP_r} = (0 - (-1), -2 - (-4), 1 - 0) = (1, 2, 1)$. Calculamos el determinante formado por los tres vectores: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_sP_r}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\det = (-1 + 1 + 12) - (-3 + 2 + 2) = 12 - (1) = 11$$ Como el determinante es distinto de cero ($\det \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio}}$$

**b) (0.5 puntos) Hallar la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el punto $P(2, -1, 5)$.** Si un plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, 1, 3)$$ La ecuación general del plano será de la forma $x + y + 3z + D = 0$. Imponemos que pase por el punto $P(2, -1, 5)$: $$2 + (-1) + 3(5) + D = 0$$ $$2 - 1 + 15 + D = 0 \implies 16 + D = 0 \implies D = -16$$ La ecuación del plano es: $$x + y + 3z - 16 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación $Ax + By + Cz + D = 0$, los coeficientes $(A, B, C)$ definen la dirección perpendicular al plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x + y + 3z - 16 = 0}$$

**c) (1 punto) Encontrar la ecuación del plano paralelo a la recta $r$ que contiene a la recta $s$.** El plano buscado, llamémoslo $\pi'$, debe contener a $s$ (por tanto contiene a $P_s$ y tiene la dirección $\vec{v_s}$) y ser paralelo a $r$ (por tanto tiene la dirección $\vec{v_r}$). El vector normal del plano $\vec{n_{\pi'}}$ será el producto vectorial de los vectores directores de ambas rectas: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos mediante Sarrus: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{i}(1 - (-3)) - \vec{j}(1 - 6) + \vec{k}(-1 - 2) = 4\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k}$$ $$\vec{n_{\pi'}} = (4, 5, -3)$$ Usamos el punto $P_s(-1, -4, 0)$ de la recta $s$ para determinar $D'$: $$4(x + 1) + 5(y + 4) - 3(z - 0) = 0$$ $$4x + 4 + 5y + 20 - 3z = 0$$ $$4x + 5y - 3z + 24 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{4x + 5y - 3z + 24 = 0}$$