Estudio de funciones, recta tangente y cálculo integral

**a) (0.5 puntos) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo $[1, 10]$ en el que ambas funciones toman el mismo valor.** Para demostrar que existe un punto donde $f(x) = g(x)$, definimos una función auxiliar $h(x) = f(x) - g(x)$: $$h(x) = (x^3 + 3x^2 - 1) - 6x = x^3 + 3x^2 - 6x - 1$$ Si encontramos un punto $c \in [1, 10]$ tal que $h(c) = 0$, habremos demostrado que $f(c) = g(c)$. 1. **Continuidad**: $h(x)$ es una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en el intervalo cerrado $[1, 10]$. 2. **Signo en los extremos**: - Para $x=1$: $h(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 6(1) - 1 = 1 + 3 - 6 - 1 = -3 \lt 0$. - Para $x=10$: $h(10) = 10^3 + 3(10)^2 - 6(10) - 1 = 1000 + 300 - 60 - 1 = 1239 \gt 0$. Como $h(x)$ es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ($h(1) \lt 0$ y $h(10) \gt 0$), por el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c \in (1, 10)$ tal que $h(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano dice que si una función $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) \lt 0$, entonces existe $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } c \in (1, 10) \text{ tal que } f(c) = g(c)}$$

**b) (1 punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $y = f(x)$ con pendiente mínima.** La pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en cualquier punto $x$ viene dada por la derivada $f'(x)$: $$f'(x) = 3x^2 + 6x$$ Para hallar el valor de $x$ que minimiza esta pendiente, derivamos $f'(x)$ (es decir, calculamos $f''(x)$) e igualamos a cero: $$f''(x) = 6x + 6$$ $$6x + 6 = 0 \implies x = -1$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ para confirmar que es un mínimo: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array} $$ Como la derivada de la pendiente pasa de negativa a positiva, en $x = -1$ hay un **mínimo relativo** para la pendiente. 💡 **Tip:** Minimizar la pendiente de $f(x)$ equivale a buscar el mínimo de la función $m(x) = f'(x)$. Esto ocurre siempre en los puntos de inflexión si la curvatura cambia de cóncava a convexa. $$\boxed{x = -1}$$

Ahora calculamos los elementos de la recta tangente en $x = -1$: 1. **Punto de tangencia**: $y_0 = f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 1 = -1 + 3 - 1 = 1$. 2. **Pendiente mínima**: $m = f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3$. Usamos la fórmula de la recta punto-pendiente $y - y_0 = m(x - x_0)$: $$y - 1 = -3(x - (-1))$$ $$y - 1 = -3(x + 1)$$ $$y = -3x - 3 + 1 \implies y = -3x - 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = -3x - 2}$$

**c) (1 punto) Calcular $\int_{1}^{2} \frac{f(x)}{g(x)} dx$.** Sustituimos las expresiones de $f(x)$ y $g(x)$: $$\int_{1}^{2} \frac{x^3 + 3x^2 - 1}{6x} dx$$ Podemos descomponer la fracción en tres términos para integrar más fácilmente: $$\frac{1}{6} \int_{1}^{2} \left( \frac{x^3}{x} + \frac{3x^2}{x} - \frac{1}{x} \right) dx = \frac{1}{6} \int_{1}^{2} (x^2 + 3x - x^{-1}) dx$$ 💡 **Tip:** Cuando el denominador es un monomio, lo más sencillo es repartirlo entre los términos del numerador para obtener potencias de $x$ fáciles de integrar.

Calculamos la integral indefinida: $$\int (x^2 + 3x - \frac{1}{x}) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \ln|x|$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[1, 2]$: $$\frac{1}{6} \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - \ln|x| \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x=2$: $\frac{1}{6} \left( \frac{8}{3} + \frac{3(4)}{2} - \ln 2 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{8}{3} + 6 - \ln 2 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{26}{3} - \ln 2 \right)$ - Para $x=1$: $\frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - \ln 1 \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{11}{6} - 0 \right) = \frac{11}{36}$ Restamos los valores: $$I = \left( \frac{26}{18} - \frac{\ln 2}{6} \right) - \frac{11}{36} = \frac{52}{36} - \frac{11}{36} - \frac{\ln 2}{6} = \frac{41}{36} - \frac{\ln 2}{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = \frac{41}{36} - \frac{\ln 2}{6} \approx 1.023}$$