Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) (2 puntos) Discutir el sistema según los diferentes valores de $a$.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ -a & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & a+1 \\ -a & 1 & -1 & 2a \\ 0 & -1 & 1 & a \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ -a & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [ (1)(1)(1) + (a)(-1)(0) + (1)(-a)(-1) ] - [ (0)(1)(1) + (-1)(-1)(1) + (1)(-a)(a) ]$$ $$|A| = (1 + 0 + a) - (0 + 1 - a^2) = 1 + a - 1 + a^2 = a^2 + a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$a^2 + a = 0 \implies a(a + 1) = 0 \implies \begin{cases} a = 0 \\ a = -1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica si el sistema tiene solución única (SCD) o si debemos profundizar en el estudio de los rangos para determinar si es compatible dependiente (SCI) o incompatible (SI).

Si **$a \neq 0$ y $a \neq -1$**, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 ni menor que el rango de $A$) - El número de incógnitas es 3. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, -1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD).}}$$

Si **$a = 0$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$. Observamos las filas de la matriz: la tercera fila ($F_3$) es igual a la segunda fila ($F_2$) multiplicada por $-1$ ($F_3 = -F_2$). Esto implica que la tercera fila es linealmente dependiente. Por lo tanto, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt \text{número de incógnitas} (3)$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Dependiente (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 0, \text{ el sistema es Compatible Dependiente (SCI).}}$$

Si **$a = -1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ tomando el determinante formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = [ (1)(1)(-1) + (-1)(-2)(0) + (0)(1)(-1) ] - [ (0)(1)(0) + (-1)(-1)(1) + (-1)(1)(-1) ]$$ $$= (-1 + 0 + 0) - (0 + 1 + 1) = -1 - 2 = -3 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero en la matriz ampliada, **$\text{rango}(A^*) = 3$**. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -1, \text{ el sistema es Incompatible (SI).}}$$

**b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para $a = 0$.** Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\left. \begin{array}{r} x + z = 1 \\ y - z = 0 \\ -y + z = 0 \end{array} \right\}$$ Como hemos visto en el apartado anterior, la tercera ecuación es redundante ($F_3 = -F_2$). El sistema se reduce a: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ y - z = 0 \end{cases}$$ Para resolverlo, parametrizamos una de las incógnitas. Sea **$z = \lambda$** donde $\lambda \in \mathbb{R}$: 1. De la segunda ecuación: $y = z \implies y = \lambda$ 2. De la primera ecuación: $x = 1 - z \implies x = 1 - \lambda$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre necesitamos un parámetro ($\lambda$) para expresar las infinitas soluciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - \lambda, \lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$