Probabilidad compuesta y Teorema de Bayes con urnas y dados

Primero, definimos los sucesos del experimento para organizar la información: - $A$: Se elige la urna A (al lanzar el dado sale A). - $B$: Se elige la urna B (al lanzar el dado sale B). - $V$: La bola extraída es verde. - $N$: La bola extraída es negra. - $R$: La bola extraída es roja. Calculamos las probabilidades de elegir cada urna según el dado (6 caras en total): - $P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ - $P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Las probabilidades condicionadas según la composición de las urnas son: - Urna A (10 bolas): $P(V|A) = \frac{3}{10}$, $P(N|A) = \frac{4}{10}$, $P(R|A) = \frac{3}{10}$ - Urna B (10 bolas): $P(V|B) = \frac{6}{10}$, $P(N|B) = \frac{4}{10}$, $P(R|B) = 0$ Representamos el experimento mediante un árbol:

**a) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea verde?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que la bola verde puede provenir tanto de la urna A como de la urna B: $$P(V) = P(A) \cdot P(V|A) + P(B) \cdot P(V|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(V) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} \right)$$ $$P(V) = \frac{3}{30} + \frac{12}{30} = \frac{15}{30}$$ Simplificando la fracción: $$P(V) = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** En el Teorema de la Probabilidad Total, sumamos los caminos del árbol que terminan en el suceso deseado (verde). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V) = 0.5}$$

**b) [0,75 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?** Nuevamente aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** para el suceso 'bola roja' ($R$): $$P(R) = P(A) \cdot P(R|A) + P(B) \cdot P(R|B)$$ Sabemos por el enunciado que en la urna B no hay bolas rojas, por lo que $P(R|B) = 0$: $$P(R) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} \right) + \left( \frac{2}{3} \cdot 0 \right)$$ $$P(R) = \frac{3}{30} + 0 = \frac{1}{10}$$ En formato decimal: $$P(R) = 0.1$$ 💡 **Tip:** Si una urna no contiene un color, su probabilidad condicionada es cero, anulando esa rama para dicho color. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R) = 0.1}$$

**c) [1 p.] Si bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?** Se trata de una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B|V) = \frac{P(B \cap V)}{P(V)} = \frac{P(B) \cdot P(V|B)}{P(V)}$$ Ya conocemos los valores necesarios: - $P(B) \cdot P(V|B) = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{10} = \frac{12}{30} = 0.4$ - $P(V) = 0.5$ (calculado en el apartado a) Sustituimos: $$P(B|V) = \frac{0.4}{0.5} = \frac{4}{5}$$ Expresado en decimal: $$P(B|V) = 0.8$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para 'volver atrás' en el árbol; dividimos la probabilidad del camino específico entre la probabilidad total del suceso observado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|V) = 0.8}$$