Distribución normal: parámetros y cálculo de probabilidades

**a) [0,5 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 2,6 kg?** Definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de un recién nacido en kg. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(2,8, \sigma)$$ Se nos da el dato: $P(X > 3) = 20,05\% = 0,2005$. Para resolver este apartado sin conocer aún $\sigma$, observamos la simetría de la campana de Gauss respecto a la media $\mu = 2,8$: - El valor $3$ está a una distancia de $3 - 2,8 = 0,2$ por encima de la media. - El valor $2,6$ está a una distancia de $2,8 - 2,6 = 0,2$ por debajo de la media. Por simetría, la probabilidad de estar por encima de $3$ es igual a la probabilidad de estar por debajo de $2,6$: $$P(X < 2,6) = P(X > 3) = 0,2005$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal, la probabilidad de alejarse de la media hacia la derecha es la misma que hacia la izquierda: $P(X > \mu + a) = P(X < \mu - a)$. Calculamos la probabilidad solicitada: $$P(X > 2,6) = 1 - P(X \le 2,6) = 1 - 0,2005 = 0,7995$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X > 2,6) = 0,7995}$$

**b) [1 p.] Calcule la desviación típica de esta distribución normal.** Utilizamos el dato $P(X > 3) = 0,2005$. Para hallar $\sigma$, debemos tipificar la variable transformándola en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$: $$P\left( Z > \frac{3 - 2,8}{\sigma} \right) = 0,2005$$ $$P\left( Z > \frac{0,2}{\sigma} \right) = 0,2005$$ Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer probabilidades acumuladas hacia la izquierda ($P(Z \le z)$), transformamos la expresión: $$1 - P\left( Z \le \frac{0,2}{\sigma} \right) = 0,2005 \implies P\left( Z \le \frac{0,2}{\sigma} \right) = 1 - 0,2005 = 0,7995$$ Buscamos el valor $0,7995$ en el interior de la tabla de la $N(0, 1)$: - El valor exacto $0,7995$ corresponde a $z = 0,84$. 💡 **Tip:** Si el valor no es exacto en la tabla, se toma el más cercano o se realiza una interpolación lineal. En este caso, $0,84$ es exacto. $$\frac{0,2}{\sigma} = 0,84$$

Despejamos $\sigma$ de la ecuación anterior: $$\sigma = \frac{0,2}{0,84}$$ Realizamos el cálculo y redondeamos a 4 decimales: $$\sigma = 0,238095... \approx 0,2381$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 0,2381 \text{ kg}}$$

**c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,9 kg?** Ahora conocemos la distribución completa: $X \sim N(2,8, \, 0,2381)$. Queremos calcular $P(X < 2,9)$. Tipificamos de nuevo: $$P(X < 2,9) = P\left( Z < \frac{2,9 - 2,8}{0,2381} \right)$$ $$P(X < 2,9) = P\left( Z < \frac{0,1}{0,2381} \right)$$ $$P(X < 2,9) = P(Z < 0,4200)$$ Buscamos el valor $z = 0,42$ en la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$: - Para $z = 0,42$, la tabla nos da una probabilidad de $0,6628$. 💡 **Tip:** Recuerda que al tipificar restamos la media y dividimos por la desviación típica. El valor resultante de $z$ es el número de desviaciones típicas que el dato se aleja de la media. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X < 2,9) = 0,6628}$$