Posición relativa de rectas y cálculo de plano paralelo

**a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y un vector director de cada recta. **Recta $s$:** Está en forma continua. Su vector director $\vec{v_s}$ son los denominadores y el punto $P_s$ se obtiene de los numeradores: $$\vec{v_s} = (-1, 1, 0), \quad P_s = (1, 0, 5)$$ **Recta $r$:** Está en forma implícita. Podemos pasarla a paramétricas dando a una variable el valor de un parámetro. Si hacemos $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $y = 3 + 5z = 3 + 5\lambda$. 2. Sustituimos en la primera: $5x + 3(3 + 5\lambda) = 19 \Rightarrow 5x + 9 + 15\lambda = 19 \Rightarrow 5x = 10 - 15\lambda \Rightarrow x = 2 - 3\lambda$. Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r : \begin{cases} x = 2 - 3\lambda \\ y = 3 + 5\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos: $$\vec{v_r} = (-3, 5, 1), \quad P_r = (2, 3, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas también puede hallarse mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$.

Comparamos los vectores directores $\vec{v_r} = (-3, 5, 1)$ y $\vec{v_s} = (-1, 1, 0)$. Sus componentes no son proporcionales: $$\frac{-3}{-1} \neq \frac{5}{1}$$ Por tanto, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. O bien se cortan en un punto, o bien se cruzan. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-2, 0-3, 5-0) = (-1, -3, 5)$. Ahora estudiamos el determinante de la matriz formada por los tres vectores $M = (\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$: $$\det(M) = \begin{vmatrix} -3 & -1 & -1 \\ 5 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\det(M) = [(-3) \cdot 1 \cdot 5 + (-1) \cdot (-3) \cdot 1 + (-1) \cdot 5 \cdot 0] - [1 \cdot 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-3) \cdot (-3) + 5 \cdot 5 \cdot (-1)]$$ $$\det(M) = [-15 + 3 + 0] - [-1 + 0 - 25] = -12 - (-26) = 14$$ Como $\det(M) \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,25 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que contiene a la recta $r$ y es paralelo a la recta $s$.** Como hemos determinado que las rectas se cruzan, procedemos a buscar el plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. El plano $\pi$ estará definido por: - El punto $P_r(2, 3, 0)$ (porque contiene a $r$). - Los vectores directores $\vec{v_r} = (-3, 5, 1)$ y $\vec{v_s} = (-1, 1, 0)$ (porque contiene a $r$ y es paralelo a $s$). Primero hallamos el vector normal $\vec{n_\pi}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{v_s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 5 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por adjuntos de la primera fila: $$\vec{n_\pi} = (5 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \mathbf{i} - ((-3) \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) \mathbf{j} + ((-3) \cdot 1 - 5 \cdot (-1)) \mathbf{k}$$ $$\vec{n_\pi} = -1 \mathbf{i} - 1 \mathbf{j} + 2 \mathbf{k} = (-1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** El vector normal $(A, B, C)$ define la ecuación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$.

La ecuación del plano es de la forma $-x - y + 2z + D = 0$. Imponemos que el punto $P_r(2, 3, 0)$ pertenezca al plano para hallar $D$: $$-(2) - (3) + 2(0) + D = 0 \Rightarrow -5 + D = 0 \Rightarrow D = 5$$ Por tanto, la ecuación del plano es $-x - y + 2z + 5 = 0$. Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$x + y - 2z - 5 = 0$$ ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{x + y - 2z - 5 = 0}$$