Área de un triángulo y perpendicularidad entre rectas

**a) [1,5 p.] Determine el punto $R$ de la recta $r$ para el cual el área del triángulo $PQR$ es $18\sqrt{2}$ unidades cuadradas.** Primero, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para poder definir un punto genérico $R$ que pertenezca a ella. A partir de la ecuación continua: $$r : \frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z+1}{4} = \lambda$$ Obtenemos: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 + 4\lambda \end{cases}$$ Cualquier punto $R$ de la recta tendrá la forma $R(\lambda, 1+\lambda, -1+4\lambda)$. 💡 **Tip:** Pasar a paramétricas es fundamental cuando buscamos un punto desconocido dentro de una recta, ya que reduce el problema a encontrar el valor de un único parámetro $\lambda$.

Para calcular el área del triángulo $PQR$, necesitamos los vectores $\vec{PQ}$ y $\vec{PR}$. Dados $P(5,6,1)$ y $Q(-3,-2,5)$: $$\vec{PQ} = Q - P = (-3-5, -2-6, 5-1) = (-8, -8, 4)$$ Para el punto genérico $R(\lambda, 1+\lambda, -1+4\lambda)$: $$\vec{PR} = R - P = (\lambda-5, (1+\lambda)-6, (-1+4\lambda)-1) = (\lambda-5, \lambda-5, 4\lambda-2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área de un triángulo formado por los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es $A = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}|$.

Calculamos el producto vectorial $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ mediante un determinante: $$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -8 & -8 & 4 \\ \lambda-5 & \lambda-5 & 4\lambda-2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la primera fila: $$\vec{i} [(-8)(4\lambda-2) - 4(\lambda-5)] - \vec{j} [(-8)(4\lambda-2) - 4(\lambda-5)] + \vec{k} [(-8)(\lambda-5) - (-8)(\lambda-5)]$$ Simplificamos los componentes: - Comp. $x$: $-32\lambda + 16 - 4\lambda + 20 = -36\lambda + 36 = -36(\lambda-1)$ - Comp. $y$: $-(-36\lambda + 36) = 36\lambda - 36 = 36(\lambda-1)$ - Comp. $z$: $-8\lambda + 40 + 8\lambda - 40 = 0$ El vector resultante es $(-36(\lambda-1), 36(\lambda-1), 0)$. Calculamos su módulo: $$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-36(\lambda-1))^2 + (36(\lambda-1))^2 + 0^2} = \sqrt{2 \cdot [36(\lambda-1)]^2} = 36\sqrt{2} |\lambda-1|$$

Aplicamos la fórmula del área e igualamos al valor dado $18\sqrt{2}$: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 36\sqrt{2} |\lambda-1| = 18\sqrt{2} |\lambda-1|$$ $$18\sqrt{2} |\lambda-1| = 18\sqrt{2} \implies |\lambda-1| = 1$$ Esto nos da dos posibles soluciones para $\lambda$: 1. $\lambda - 1 = 1 \implies \lambda = 2$ 2. $\lambda - 1 = -1 \implies \lambda = 0$ Calculamos los puntos sustituyendo en las paramétricas de $r$: - Para $\lambda = 2 \implies R_1(2, 1+2, -1+4(2)) = R_1(2, 3, 7)$ - Para $\lambda = 0 \implies R_2(0, 1+0, -1+4(0)) = R_2(0, 1, -1)$ Como el enunciado indica que basta con encontrar uno: ✅ **Resultado:** $$\boxed{R(2, 3, 7)}$$

**b) [1 p.] Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ y compruebe que dicha recta corta perpendicularmente a la recta $r$.** Llamemos $s$ a la recta que pasa por $P(5,6,1)$ y $Q(-3,-2,5)$. El vector director será $\vec{v_s} = \vec{PQ} = (-8, -8, 4)$. Podemos simplificar el vector director dividiendo por $4$: $\vec{d_s} = (-2, -2, 1)$. La ecuación de la recta $s$ en forma paramétrica es: $$s : \begin{cases} x = 5 - 2\mu \\ y = 6 - 2\mu \\ z = 1 + \mu \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para representar una recta solo necesitas un punto y un vector. Si usas el vector $\vec{PQ}$ simplificado, los cálculos posteriores suelen ser más sencillos.

Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores directores es cero. - Vector director de $r$: $\vec{v_r} = (1, 1, 4)$ - Vector director de $s$: $\vec{d_s} = (-2, -2, 1)$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v_r} \cdot \vec{d_s} = (1)(-2) + (1)(-2) + (4)(1) = -2 - 2 + 4 = 0$$ Al ser el producto escalar nulo, las direcciones son perpendiculares. ✅ **Resultado (Perpendicularidad):** $$\boxed{\vec{v_r} \perp \vec{d_s} \text{ porque } \vec{v_r} \cdot \vec{d_s} = 0}$$

Para que se corten perpendicularmente, además de ser perpendiculares, deben tener un punto en común. Igualamos las paramétricas de $r$ y $s$: $$\begin{cases} \lambda = 5 - 2\mu \\ 1 + \lambda = 6 - 2\mu \\ -1 + 4\lambda = 1 + \mu \end{cases}$$ Observamos que las dos primeras ecuaciones son equivalentes: $\lambda + 2\mu = 5$. Usamos la tercera: $$-1 + 4(5-2\mu) = 1 + \mu \implies -1 + 20 - 8\mu = 1 + \mu$$ $$19 - 8\mu = 1 + \mu \implies 18 = 9\mu \implies \mu = 2$$ Sustituimos $\mu = 2$ para hallar $\lambda$: $$\lambda = 5 - 2(2) = 1$$ Como existe una solución única $(\lambda=1, \mu=2)$, las rectas se cortan en un punto (específicamente en el punto $I(1, 2, 3)$). ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan perpendicularmente en } (1, 2, 3)}$$