Cálculo de integral por partes y aplicación definida

**a) [2 p.] Calcule la integral indefinida $\int \ln(1+x^2) dx$.** Para resolver la integral de una función logarítmica, el método más directo es la **integración por partes**. Definimos los elementos $u$ y $dv$: - Elegimos $u = \ln(1+x^2)$, ya que su derivada es una función racional más sencilla. - Elegimos $dv = dx$, lo que nos permite hallar $v$ fácilmente. Calculamos sus respectivos diferenciales: - $du = \dfrac{2x}{1+x^2} dx$ - $v = \int dx = x$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla útil para elegir $u$ es el acrónimo **ALPES** (Arcos, Logaritmos, Potencias, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Sustituimos los elementos en la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int \ln(1+x^2) dx = x \ln(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la nueva integral: $$\int \ln(1+x^2) dx = x \ln(1+x^2) - \int \frac{2x^2}{1+x^2} dx$$

Para resolver $\int \frac{2x^2}{1+x^2} dx$, observamos que el numerador y el denominador tienen el mismo grado. Realizamos una manipulación algebraica sencilla (o división de polinomios): $$\frac{2x^2}{1+x^2} = \frac{2x^2 + 2 - 2}{1+x^2} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{1+x^2} = \frac{2(x^2+1)}{x^2+1} - \frac{2}{x^2+1} = 2 - \frac{2}{x^2+1}$$ Ahora integramos término a término: $$\int \left( 2 - \frac{2}{1+x^2} \right) dx = 2x - 2\arctan(x)$$ 💡 **Tip:** Siempre que el grado del numerador sea mayor o igual al del denominador, conviene realizar la división para separar la fracción en una parte entera y una fracción propia.

Combinamos todos los resultados obtenidos en los pasos anteriores: $$\int \ln(1+x^2) dx = x \ln(1+x^2) - (2x - 2\arctan(x)) + C$$ Distribuimos el signo negativo para obtener la expresión final: ✅ **Resultado (Indefinida):** $$\boxed{\int \ln(1+x^2) dx = x \ln(1+x^2) - 2x + 2\arctan(x) + C}$$

**b) [0,5 p.] Calcule la integral definida $\int_{0}^{1} \ln(1+x^2) dx$.** Utilizamos la **Regla de Barrow** aplicando la primitiva hallada en el apartado anterior evaluada en los límites de integración $0$ y $1$: $$\int_{0}^{1} \ln(1+x^2) dx = \left[ x \ln(1+x^2) - 2x + 2\arctan(x) \right]_0^1$$ Calculamos el valor en el límite superior ($x=1$): $$1 \cdot \ln(1+1^2) - 2(1) + 2\arctan(1) = \ln(2) - 2 + 2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$$ Calculamos el valor en el límite inferior ($x=0$): $$0 \cdot \ln(1+0^2) - 2(0) + 2\arctan(0) = 0 - 0 + 0 = 0$$ Restamos ambos valores: $$\left( \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \right) - 0 = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$$ ✅ **Resultado (Definida):** $$\boxed{\int_{0}^{1} \ln(1+x^2) dx = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2} \approx 0.2639}$$