Cálculo de límites

**a) [1,25 p.] $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(3+x) - \ln(3-x)}{2x}$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(3+0) - \ln(3-0)}{2(0)} = \frac{\ln(3) - \ln(3)}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Para resolverla, aplicaremos la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital establece que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$, entonces el límite es igual a $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ siempre que este último exista.

Calculamos las derivadas: - Derivada del numerador: $[\ln(3+x) - \ln(3-x)]' = \frac{1}{3+x} - \frac{-1}{3-x} = \frac{1}{3+x} + \frac{1}{3-x}$. - Derivada del denominador: $[2x]' = 2$. Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(3+x) - \ln(3-x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3+x} + \frac{1}{3-x}}{2}$$ Ahora volvemos a evaluar el límite sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3+0} + \frac{1}{3-0}}{2} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Al derivar funciones logarítmicas compuestas como $\ln(u)$, la derivada es $\frac{u'}{u}$. En $\ln(3-x)$, la derivada de la función interna $(3-x)$ es $-1$, por eso el signo cambia a positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{1}{3}}$$

**b) [1,25 p.] $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2})$.** Evaluamos el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2}) = \infty - \infty$$ Estamos ante una indeterminación de tipo $\infty - \infty$ con raíces cuadradas. La estrategia estándar para resolver este tipo de límites es multiplicar y dividir por la **expresión conjugada** para eliminar la diferencia de raíces en el numerador.

Multiplicamos y dividimos por $(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x+2})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}}$$ En el numerador aplicamos el producto notable de suma por diferencia, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1) - (x+2)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+1-x-2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+2}}$$ Evaluamos el límite final: Como el numerador es constante ($-1$) y el denominador tiende a $+\infty$: $$\frac{-1}{\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que cualquier número real dividido por una expresión que tiende a infinito resulta en un límite igual a cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{0}$$