Potencias de una matriz y matriz inversa

**a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas $A^2, A^3, A^4, A^5$ y $A^6$.** Para calcular las potencias sucesivas, realizamos el producto de matrices recordando que el elemento de la fila $i$ y columna $j$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda. Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-3)(1) & (-1)(-3)+(-3)(2) \\ (1)(-1)+(2)(1) & (1)(-3)+(2)(2) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 1-3 & 3-6 \\ -1+2 & -3+4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$ Calculamos $A^3 = A^2 \cdot A$: $$A^3 = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2)(-1)+(-3)(1) & (-2)(-3)+(-3)(2) \\ (1)(-1)+(1)(1) & (1)(-3)+(1)(2) \end{pmatrix}$$ $$A^3 = \begin{pmatrix} 2-3 & 6-6 \\ -1+1 & -3+2 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I}$$ 💡 **Tip:** Identificar que $A^3 = -I$ simplifica enormemente los cálculos siguientes, ya que $I$ es el elemento neutro del producto de matrices.

Utilizando el resultado anterior $A^3 = -I$, calculamos el resto de potencias de forma directa: Para $A^4$: $$A^4 = A^3 \cdot A = (-I) \cdot A = -A = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}$$ Para $A^5$: $$A^5 = A^3 \cdot A^2 = (-I) \cdot A^2 = -A^2 = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$ Para $A^6$: $$A^6 = A^3 \cdot A^3 = (-I) \cdot (-I) = I = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ Observamos que la matriz es **periódica de orden 6**, es decir, $A^6 = I$.

**b) [1 p.] Calcule $A^{2020}$.** Como hemos comprobado que $A^6 = I$, las potencias de $A$ se repiten en ciclos de 6. Para hallar $A^{2020}$, dividimos el exponente $2020$ entre el periodo $6$: $$2020 = 6 \cdot 336 + 4$$ Esto significa que: $$A^{2020} = A^{6 \cdot 336 + 4} = (A^6)^{336} \cdot A^4$$ Sustituyendo $A^6 = I$: $$A^{2020} = (I)^{336} \cdot A^4 = I \cdot A^4 = A^4$$ Del apartado anterior, ya conocemos el valor de $A^4$: $$\boxed{A^{2020} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En potencias elevadas, busca siempre un patrón o una potencia que sea igual a $I$ o $-I$. Dividir el exponente por el periodo es el método estándar.

**c) [0,5 p.] Compruebe que la matriz $A$ es regular (o inversible) y calcule su inversa.** Una matriz es regular o inversible si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(2) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular** y, por tanto, existe $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo. Si el determinante es $1$, la inversa suele tener números enteros.

Podemos calcular la inversa mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$. 1. Hallamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $Adj_{11} = (-1)^{1+1}(2) = 2$ - $Adj_{12} = (-1)^{1+2}(1) = -1$ - $Adj_{21} = (-1)^{2+1}(-3) = 3$ - $Adj_{22} = (-1)^{2+2}(-1) = -1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ 3. Como $|A| = 1$: $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$ *Nota curiosa:* Obsérvese que $A^{-1} = A^5$, lo cual es lógico ya que $A \cdot A^5 = A^6 = I$.