Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1 p.] Compruebe que el sistema nunca tiene solución única.** Para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución única (Sistema Compatible Determinado), el determinante de la matriz de coeficientes $A$ debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Escribimos la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & a^2 \\ -a & a^2 & -a^3 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -a & a^2 \\ -a & a^2 & -a^3 \end{vmatrix} = [1 \cdot (-a) \cdot (-a^3) + 1 \cdot a^2 \cdot (-a) + 1 \cdot 1 \cdot a^2] - [(-a) \cdot (-a) \cdot 1 + a^2 \cdot a^2 \cdot 1 + (-a^3) \cdot 1 \cdot 1]$$ $$|A| = [a^4 - a^3 + a^2] - [a^2 + a^4 - a^3] = a^4 - a^3 + a^2 - a^2 - a^4 + a^3 = 0$$ Como el determinante es **$|A| = 0$** para cualquier valor de $a$, el rango de $A$ siempre será menor que el número de incógnitas ($n=3$). Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema nunca puede ser compatible determinado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Como } |A|=0 \text{ para todo } a \in \mathbb{R}, \text{ el sistema nunca tiene solución única.}}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones.** Para que el sistema tenga infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado), se debe cumplir que $rg(A) = rg(A^*) \lt 3$. Ya sabemos que $|A| = 0$. Veamos cuándo $rg(A) = 2$ analizando un menor de orden 2. Tomamos, por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -a \end{vmatrix} = -a - 1$$ Este menor es distinto de cero si $-a - 1 \neq 0 \implies a \neq -1$. - Si **$a \neq -1$**, entonces **$rg(A) = 2$**. - Si **$a = -1$**, la matriz queda $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, donde todas las filas son iguales, por lo que **$rg(A) = 1$**. 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos encontrar.

Analizamos ahora el rango de la matriz ampliada $A^*$, que incluye la columna de términos independientes: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -a & a^2 & -1 \\ -a & a^2 & -a^3 & 2 \end{pmatrix}$$ Para que $rg(A^*) = 2$ (y así igualar al rango de $A$ cuando $a \neq -1$), todos los menores de orden 3 que incluyan la última columna deben ser cero. Tomamos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$M = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & -a & -1 \\ -a & a^2 & 2 \end{vmatrix} = [1(-a)(2) + 1(-1)(-a) + 2(1)(a^2)] - [(-a)(-a)(2) + a^2(-1)(1) + 2(1)(1)]$$ $$M = [-2a + a + 2a^2] - [2a^2 - a^2 + 2] = [2a^2 - a] - [a^2 + 2] = a^2 - a - 2$$ Buscamos los valores de $a$ que hacen $M = 0$: $$a^2 - a - 2 = 0 \implies a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies a_1 = 2, \, a_2 = -1$$ - Si **$a = 2$**: $rg(A) = 2$. Comprobamos si $rg(A^*)=2$. Si sustituimos $a=2$ en $A^*$, observamos que la tercera fila es la segunda multiplicada por $-2$ ($F_3 = -2F_2$): $$A^*(2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 4 & -1 \\ -2 & 4 & -8 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $F_3$ es proporcional a $F_2$, el rango de $A^*$ no puede ser 3. Por tanto, $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$. **Es SCI**. - Si **$a = -1$**: $rg(A) = 1$. Sin embargo, en la matriz ampliada: $$A^*(-1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Las filas 1 y 2 son contradictorias ($x+y+z=2$ y $x+y+z=-1$), por lo que $rg(A^*) = 2$. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, **es SI**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2}$$

**c) [0,5 p.] Si es posible, resuélvalo para el valor de $a = 2$.** Para $a = 2$, el sistema es compatible indeterminado. Como $rg(A)=2$, utilizamos las dos primeras ecuaciones (que son linealmente independientes) y pasamos una variable al otro miembro como parámetro (por ejemplo, $z = \lambda$): $$\begin{cases} x + y = 2 - \lambda \\ x - 2y = -1 - 4\lambda \end{cases}$$ Restamos la segunda a la primera para eliminar $x$: $$(x + y) - (x - 2y) = (2 - \lambda) - (-1 - 4\lambda)$$ $$3y = 3 + 3\lambda \implies y = 1 + \lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x + (1 + \lambda) = 2 - \lambda$$ $$x = 2 - \lambda - 1 - \lambda = 1 - 2\lambda$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas con infinitas soluciones, no olvides indicar que el parámetro (en este caso $\lambda$) pertenece a los números reales. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - 2\lambda, 1 + \lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$