Distribución Binomial: Retrasos a clase

**a) [1 p.] El tipo de distribución que sigue la variable aleatoria que cuenta el número de días que Juan llega tarde a clase en los próximos 9 días. ¿Cuáles son sus parámetros?** Para identificar la distribución, analizamos las características del experimento: 1. Se repite un evento un número fijo de veces: $n = 9$ días. 2. Cada día es independiente de los demás. 3. En cada día solo hay dos resultados posibles: Juan llega tarde (éxito) o no llega tarde (fracaso). 4. La probabilidad de éxito es constante cada día: $p = 0,45$. Por tanto, la variable aleatoria $X$, que cuenta el número de días que llega tarde, sigue una **distribución Binomial**. Los parámetros son: - $n = 9$ (número de ensayos). - $p = 0,45$ (probabilidad de éxito). 💡 **Tip:** Una distribución binomial $B(n, p)$ modela el número de éxitos en $n$ ensayos independientes donde la probabilidad de éxito $p$ es constante. $$\boxed{X \sim B(9;\, 0,45)}$$

**b) [0,5 p.] ¿Cuál es la media y la desviación típica de esta distribución?** Para una distribución $B(n, p)$, utilizamos las siguientes fórmulas: 1. **Media (Esperanza):** $$\mu = n \cdot p$$ $$\mu = 9 \cdot 0,45 = 4,05$$ 2. **Desviación típica:** Primero hallamos la probabilidad de fracaso $q = 1 - p$: $$q = 1 - 0,45 = 0,55$$ La fórmula de la desviación típica es: $$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$ $$\sigma = \sqrt{9 \cdot 0,45 \cdot 0,55} = \sqrt{2,2275} \approx 1,4925$$ 💡 **Tip:** La media indica el valor esperado a largo plazo, mientras que la desviación típica mide la dispersión de los datos respecto a esa media. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\mu = 4,05; \quad \sigma \approx 1,4925}$$

**c) [1 p.] ¿Cuál es la probabilidad de que Juan consiga la ansiada subida de 1 punto en la nota final?** Juan consigue el punto si llega tarde **como mucho 2 días**. Esto significa que el número de retrasos $X$ debe ser $0$, $1$ o $2$. Debemos calcular: $$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$ Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ - **Para $k=0$:** $$P(X=0) = \binom{9}{0} (0,45)^0 (0,55)^9 = 1 \cdot 1 \cdot 0,004605 \approx 0,0046$$ - **Para $k=1$:** $$P(X=1) = \binom{9}{1} (0,45)^1 (0,55)^8 = 9 \cdot 0,45 \cdot 0,008373 \approx 0,0339$$ - **Para $k=2$:** $$P(X=2) = \binom{9}{2} (0,45)^2 (0,55)^7 = 36 \cdot 0,2025 \cdot 0,015224 \approx 0,1110$$ Sumamos las probabilidades: $$P(X \le 2) = 0,0046 + 0,0339 + 0,1110 = 0,1495$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Por ejemplo, $\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P(X \le 2) = 0,1495}$$