Probabilidad en urnas: bolas numeradas y colores

Para resolver este ejercicio de probabilidad, lo más eficiente es organizar la información sobre los colores y los números de las bolas en una **tabla de contingencia**. Analizamos la composición de la urna: - **Bolas negras ($N$):** 5 bolas (numeradas del 1 al 5). - Pares ($P$): {2, 4} $\rightarrow$ 2 bolas. - Impares ($I$): {1, 3, 5} $\rightarrow$ 3 bolas. - **Bolas blancas ($B$):** 7 bolas (numeradas del 1 al 7). - Pares ($P$): {2, 4, 6} $\rightarrow$ 3 bolas. - Impares ($I$): {1, 3, 5, 7} $\rightarrow$ 4 bolas. El número total de bolas es $5 + 7 = 12$. Resumimos los datos en la tabla: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Negras (N)} & \text{Blancas (B)} & \text{Total} \\ \hline \text{Pares (P)} & 2 & 3 & 5 \\ \hline \text{Impares (I)} & 3 & 4 & 7 \\ \hline \text{Total} & 5 & 7 & 12 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** Organizar los datos en una tabla permite ver rápidamente los casos favorables para probabilidades directas, conjuntas y condicionadas.

**a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.** Aplicamos la **Regla de Laplace**, que establece que la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. - Casos favorables (bolas blancas): $n(B) = 7$ - Casos totales: $n(T) = 12$ $$P(B) = \frac{n(B)}{n(T)} = \frac{7}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B) = \frac{7}{12} \approx 0,5833}$$

**b) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par.** Buscamos la probabilidad del suceso $P$. Según nuestra tabla, el total de bolas pares es la suma de las pares negras y las pares blancas: - Casos favorables (pares): $n(P) = 2 + 3 = 5$ - Casos totales: $n(T) = 12$ $$P(P) = \frac{n(P)}{n(T)} = \frac{5}{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = \frac{5}{12} \approx 0,4167}$$

**c) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola esté numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.** Se trata de una **probabilidad condicionada**. Nos restringimos únicamente al grupo de las bolas blancas. - Casos favorables (pares dentro de las blancas): $n(P \cap B) = 3$ - Casos totales posibles (solo blancas): $n(B) = 7$ Usando la definición de probabilidad condicionada: $$P(P|B) = \frac{P(P \cap B)}{P(B)} = \frac{3/12}{7/12} = \frac{3}{7}$$ 💡 **Tip:** Cuando calculamos una probabilidad condicionada $P(A|B)$ usando una tabla, simplemente dividimos el valor de la celda de intersección entre el total de la fila o columna que impone la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P|B) = \frac{3}{7} \approx 0,4286}$$

**d) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y esté numerada con un número par.** Buscamos la probabilidad del suceso intersección $B \cap P$ (que ocurran ambas cosas a la vez respecto al total de la urna). - Casos favorables (bolas que son blancas y pares): $n(B \cap P) = 3$ - Casos totales: $n(T) = 12$ $$P(B \cap P) = \frac{3}{12}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 3: $$P(B \cap P) = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap P) = \frac{1}{4} = 0,25}$$

**e) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que está numerada con un número par.** Nuevamente es una **probabilidad condicionada**, pero esta vez la condición es que el número sea par. Nos fijamos solo en la fila de los números pares. - Casos favorables (bolas blancas dentro de las pares): $n(B \cap P) = 3$ - Casos totales posibles (solo las pares): $n(P) = 5$ $$P(B|P) = \frac{P(B \cap P)}{P(P)} = \frac{3/12}{5/12} = \frac{3}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|P) = \frac{3}{5} = 0,6}$$