Geometría en el espacio: Vértices de un triángulo y perpendicularidad

**a) [1,5 p.] Calcule las coordenadas del tercer vértice $C$ sabiendo que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$.** El punto $C$ pertenece a la recta $r$. Para trabajar con él de forma genérica, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. Partimos de las ecuaciones implícitas: $$r : \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}$$ Si despejamos $z$ en función de $x$: $$3z = 33 - 4x \implies z = 11 - \frac{4}{3}x$$ Para evitar fracciones, podemos llamar $x = 3λ$. Entonces: $$x = 3λ$$ $$y = 0$$ $$z = 11 - 4λ$$ De aquí obtenemos un punto genérico de la recta $C(3λ, 0, 11-4λ)$ y el vector director de la recta $r$, $\vec{d_r} = (3, 0, -4)$. 💡 **Tip:** Al parametrizar, elige el valor de la variable de forma que simplifiques los cálculos posteriores. Aquí, usar $3λ$ para $x$ elimina el denominador en $z$.

Se nos indica que la recta $r$ es perpendicular a la recta que pasa por $A$ y $C$. Esto significa que el vector director de la recta $r$, $\vec{d_r}$, debe ser perpendicular al vector $\vec{AC}$. Primero, calculamos el vector $\vec{AC}$ siendo $A(2,0,0)$: $$\vec{AC} = C - A = (3λ - 2, 0 - 0, 11 - 4λ - 0) = (3λ - 2, 0, 11 - 4λ)$$ La condición de perpendicularidad implica que su producto escalar es cero: $$\vec{d_r} \cdot \vec{AC} = 0$$ $$(3, 0, -4) \cdot (3λ - 2, 0, 11 - 4λ) = 0$$ Operamos: $$3(3λ - 2) + 0(0) + (-4)(11 - 4λ) = 0$$ $$9λ - 6 - 44 + 16λ = 0$$ $$25λ - 50 = 0 \implies 25λ = 50 \implies \u03bb = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Una vez hallado el valor del parámetro $\u03bb = 2$, lo sustituimos en la expresión del punto $C$: $$x = 3(2) = 6$$ $$y = 0$$ $$z = 11 - 4(2) = 11 - 8 = 3$$ Por lo tanto, las coordenadas del tercer vértice son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{C = (6, 0, 3)}$$

**b) [1 p.] Determine si el triángulo $ABC$ tiene un ángulo recto en $A$ y calcule su área.** Para comprobar si hay un ángulo recto en el vértice $A$, debemos verificar si los vectores que parten de $A$ hacia los otros vértices, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$, son perpendiculares. Calculamos los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 2, 12 - 0, 4 - 0) = (-3, 12, 4)$$ $$\vec{AC} = C - A = (6 - 2, 0 - 0, 3 - 0) = (4, 0, 3)$$ Calculamos su producto escalar: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3)(4) + (12)(0) + (4)(3) = -12 + 0 + 12 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, los vectores son perpendiculares y, por tanto, el triángulo tiene un **ángulo recto en A**. Es un triángulo rectángulo. ✅ **Resultado (Ángulo):** $$\boxed{\text{El triángulo tiene un ángulo recto en } A}$$

Podemos calcular el área del triángulo utilizando el módulo del producto vectorial de los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$. Calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 12 & 4 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (12 \cdot 3)\vec{i} + (4 \cdot 4)\vec{j} + (-3 \cdot 0)\vec{k} - (4 \cdot 12)\vec{k} - (0 \cdot 4)\vec{i} - (3 \cdot -3)\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 36\vec{i} + 16\vec{j} + 0\vec{k} - 48\vec{k} - 0\vec{i} + 9\vec{j}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = (36, 25, -48)$$ El área es la mitad del módulo de este vector: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{36^2 + 25^2 + (-48)^2}$$ $$\text{Área} = \frac{1}{2} \sqrt{1296 + 625 + 2304} = \frac{1}{2} \sqrt{4225} = \frac{65}{2} = 32,5$$ 💡 **Tip:** Dado que el triángulo es rectángulo en $A$, también podrías haberlo calculado como $\frac{1}{2} |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|$, lo cual resulta en $\frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 5 = 32,5$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 32,5 \text{ u}^2}$$