Intersección de rectas, ángulo y plano que las contiene

**a) [0,75 p.] Compruebe que las rectas se cortan en un punto y calcule su punto de corte.** Primero, extraemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$ (en forma continua): - Punto $P_r = (1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 1, -1)$ Para la recta $s$ (en forma implícita), resolvemos el sistema para obtener sus ecuaciones paramétricas. Sea $y = \lambda$: $$s: \begin{cases} x = 2y - 1 \\ z = 1 - y \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 1 - \lambda \end{cases}$$ - Punto $P_s = (-1, 0, 1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (2, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás.

Para comprobar si se cortan, igualamos las expresiones de las coordenadas de $r$ y $s$. Ecuaciones paramétricas de $r$ (con parámetro $t$): $r: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{cases}$ Igualamos $r$ y $s$: 1) $1 + t = -1 + 2\lambda$ 2) $t = \lambda$ 3) $1 - t = 1 - \lambda$ De la ecuación (2) tenemos $t = \lambda$. Sustituimos en la ecuación (1): $$1 + t = -1 + 2t \implies 1 + 1 = 2t - t \implies t = 2$$ Por tanto, $\lambda = 2$. Comprobamos en la ecuación (3): $$1 - 2 = 1 - 2 \implies -1 = -1$$ Como el sistema es compatible determinado, las rectas se cortan en un único punto. Sustituimos $t=2$ en $r$ (o $\lambda=2$ en $s$): $x = 1 + 2 = 3$ $y = 2$ $z = 1 - 2 = -1$ ✅ **Resultado (punto de corte):** $$\boxed{Q(3, 2, -1)}$$

**b) [1 p.] Determine el ángulo que forman las dos rectas.** El ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es el ángulo que forman sus vectores directores. Se calcula mediante la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1, 1, -1) \cdot (2, 1, -1) = (1 \cdot 2) + (1 \cdot 1) + (-1 \cdot -1) = 2 + 1 + 1 = 4$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|4|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ Calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 19,47^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda usar el valor absoluto en el numerador para asegurar que obtenemos el ángulo agudo entre las rectas. ✅ **Resultado (ángulo):** $$\boxed{\alpha = \arccos\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \approx 19,47^\circ}$$

**c) [0,75 p.] Calcule la ecuación del plano que contiene a las dos rectas.** Para definir un plano $\pi$ que contiene a dos rectas que se cortan, necesitamos un punto (usaremos $P_r(1,0,1)$) y dos vectores directores (los de las rectas, $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$). El vector normal al plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n} = \mathbf{i}(-1) + \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(1) - [\mathbf{k}(2) + \mathbf{i}(-1) + \mathbf{j}(-1)]$$ $$\vec{n} = -\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k} - 2\mathbf{k} + \mathbf{i} + \mathbf{j} = 0\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} = (0, -1, -1)$$ La ecuación del plano es de la forma $0x - 1y - 1z + D = 0$. Sustituimos el punto $P_r(1, 0, 1)$: $$0(1) - 1(0) - 1(1) + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación queda: $-y - z + 1 = 0$, que multiplicando por $-1$ es: $$y + z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$