Integral por cambio de variable y cálculo de parámetro en integral definida

**a) [1,5 p.] Calcule la integral indefinida $\int x \sin(x^2)dx$ utilizando el método de cambio de variable (o método de sustitución).** Para resolver esta integral, observamos que en el integrando aparece la función $x^2$ y, multiplicando al resto, su derivada (salvo constantes), que es $2x$. Esto sugiere realizar el siguiente cambio de variable: Sea $$t = x^2$$ Derivamos ambos miembros de la igualdad para obtener la relación entre los diferenciales: $$dt = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{dt}{2}$$ 💡 **Tip:** El método de sustitución es ideal cuando identificamos una función $u(x)$ y su derivada $u'(x)$ formando parte del producto en el integrando.

Sustituimos las expresiones obtenidas en la integral original: $$\int x \sin(x^2)dx = \int \sin(t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \sin(t) dt$$ La integral del seno es una integral inmediata: $$\frac{1}{2} \int \sin(t) dt = \frac{1}{2} (-\cos(t)) + C = -\frac{1}{2} \cos(t) + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable sustituyendo de nuevo $t$ por $x^2$: $$-\frac{1}{2} \cos(x^2) + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x \sin(x^2)dx = -\frac{1}{2} \cos(x^2) + C}$$

**b) [1 p.] Determine el menor valor de $a > 0$ para el cual se cumple $\int_{0}^{a} x \sin(x^2)dx = 1$.** Utilizamos la primitiva hallada en el apartado anterior, $F(x) = -\frac{1}{2} \cos(x^2)$, para aplicar la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, a]$: $$\int_{0}^{a} x \sin(x^2)dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(x^2) \right]_{0}^{a} = 1$$ Evaluamos en los límites de integración: $$\left( -\frac{1}{2} \cos(a^2) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0^2) \right) = 1$$ Como $\cos(0) = 1$, la expresión se simplifica: $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) + \frac{1}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de Barrow dice que $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

Despejamos el término con el coseno para hallar el valor de $a$: $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) = 1 - \frac{1}{2}$$ $$-\frac{1}{2} \cos(a^2) = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos por $-2$ ambos lados: $$\cos(a^2) = -1$$ Sabemos que el coseno vale $-1$ en los ángulos de la forma $\pi + 2k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$. Como buscamos el **menor valor de $a > 0$**, tomamos el primer valor positivo: $$a^2 = \pi \implies a = \sqrt{\pi}$$ (La solución $a = -\sqrt{\pi}$ se descarta por la restricción $a > 0$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \sqrt{\pi}}$$