Estudio de una función exponencial: Extremos y límites

**a) [1,5 p.] Calcule sus extremos relativos (máximos y mínimos) y determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar la monotonía y los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x^2 e^{-x}$ utilizando la regla del producto: $$f'(x) = (x^2)' \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (e^{-x})'$$ $$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$$ Factorizamos para simplificar el estudio del signo: $$f'(x) = (2x - x^2) e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un producto es $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ y que $(e^{g(x)})' = g'(x) e^{g(x)}$. En este caso, $(e^{-x})' = -1 \cdot e^{-x}$. $$\boxed{f'(x) = x(2 - x) e^{-x}}$$

Los puntos críticos o candidatos a extremos relativos son aquellos donde $f'(x) = 0$: $$x(2 - x) e^{-x} = 0$$ Como la función exponencial $e^{-x}$ es siempre positiva para cualquier $x \in \mathbb{R}$ ($e^{-x} > 0$), la igualdad anterior solo se cumple si el factor polinómico es cero: 1. $x = 0$ 2. $2 - x = 0 \implies x = 2$ Los puntos críticos son **$x = 0$** y **$x = 2$**. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2}$$

Dividimos la recta real en intervalos definidos por los puntos críticos y analizamos el signo de $f'(x)$. Como $e^{-x}$ siempre es positivo, el signo de $f'(x)$ depende únicamente de $x(2 - x)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$: Tomamos $x = -1 \implies f'(-1) = (-1)(3) e^1 < 0$. La función es **decreciente**. - En $(0, 2)$: Tomamos $x = 1 \implies f'(1) = (1)(1) e^{-1} > 0$. La función es **creciente**. - En $(2, +\infty)$: Tomamos $x = 3 \implies f'(3) = (3)(-1) e^{-3} < 0$. La función es **decreciente**. ✅ **Intervalos de crecimiento:** $\boxed{(0, 2)}$ ✅ **Intervalos de decrecimiento:** $\boxed{(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$

Basándonos en el cambio de signo de la derivada: - En $x = 0$ hay un **mínimo relativo** pues la función pasa de decrecer a crecer. - En $x = 2$ hay un **máximo relativo** pues la función pasa de crecer a decrecer. Calculamos las ordenadas: - $f(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0 \implies \text{Mínimo en } (0, 0)$ - $f(2) = 2^2 \cdot e^{-2} = 4e^{-2} \approx 0.54 \implies \text{Máximo en } (2, 4e^{-2})$ ✅ **Extremos:** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0), \quad \text{Máximo relativo: } (2, 4/e^2)}$$

**b) [1 p.] Calcule $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ y $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.** Calculamos el límite cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x}$$ Si $x \to -\infty$, entonces $x^2 \to +\infty$ y $-x \to +\infty$. Por lo tanto, $e^{-x} \to e^{+\infty} = +\infty$. $$\lim_{x \to -\infty} x^2 e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty}$$

Calculamos el límite cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} x^2 e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$$ Al evaluar, obtenemos la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital** (derivando numerador y denominador): $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$$ Obtenemos de nuevo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = \frac{2}{+\infty} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la exponencial de base $e > 1$ siempre crece más rápido que cualquier potencia de $x$, por lo que el límite en el infinito de $\frac{x^n}{e^x}$ siempre es 0. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$