Traza, determinante y ecuaciones matriciales

**a) [1 p.] Si se denota por $tr(A)$ la traza de la matriz $A$ (es decir, la suma de los elementos de su diagonal principal) y por $|A|$ el determinante de $A$, compruebe que, para cualquier valor de $a$, se cumple la ecuación $A^2 = tr(A)A - |A|I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 2.** En primer lugar, calculamos los componentes individuales de la ecuación para la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$: 1. **Traza de $A$ ($tr(A)$):** Sumamos los elementos de la diagonal principal. $$tr(A) = 2 + 2 = 4$$ 2. **Determinante de $A$ ($|A|$):** Multiplicamos los elementos de la diagonal principal y restamos el producto de la secundaria. $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (a)(-1) = 4 + a$$ 3. **Cuadrado de la matriz ($A^2$):** Multiplicamos la matriz por sí misma. $$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) + (a)(-1) & (2)(a) + (a)(2) \\ (-1)(2) + (2)(-1) & (-1)(a) + (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-a & 4a \\ -4 & 4-a \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna: el elemento $c_{ij}$ es el producto escalar de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda.

Ahora operamos el lado derecho de la ecuación, $tr(A)A - |A|I$, sustituyendo los valores obtenidos anteriormente: $$4 \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - (4+a) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos los escalares por las matrices: $$\begin{pmatrix} 8 & 4a \\ -4 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4+a & 0 \\ 0 & 4+a \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta término a término: $$\begin{pmatrix} 8 - (4+a) & 4a - 0 \\ -4 - 0 & 8 - (4+a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-a & 4a \\ -4 & 4-a \end{pmatrix}$$ Como el resultado es idéntico al valor de $A^2$ calculado en el paso anterior, queda comprobado que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = tr(A)A - |A|I}$$

**b) [0,5 p.] Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ es regular (o inversible).** Una matriz cuadrada es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Recuperamos el valor del determinante calculado en el apartado anterior: $$|A| = 4 + a$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $$4 + a = 0 \implies a = -4$$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier número real excepto $-4$. 💡 **Tip:** Una matriz con determinante igual a cero se llama matriz singular. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \text{ es regular si } a \neq -4}$$

**c) [1 p.] Para $a = -3$, resuelva la ecuación matricial $AX - A^t = A$, donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$AX - A^t = A \implies AX = A + A^t$$ Si $A$ tiene inversa, podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda: $$X = A^{-1}(A + A^t)$$ Para $a = -3$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Comprobamos su determinante: $$|A| = 4 + (-3) = 1 \neq 0 \implies \exists A^{-1}$$ Calculamos la matriz $A + A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \implies A + A^t = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz traspuesta $A^t$ se obtiene intercambiando filas por columnas.

Calculamos $A^{-1}$ usando la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} Adj(A)^t$: 1. **Matriz de adjuntos:** $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. **Traspuesta de la adjunta:** $$Adj(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 3. **Inversa ($|A|=1$):** $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, calculamos $X = A^{-1}(A + A^t)$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(4)+3(-4) & 2(-4)+3(4) \\ 1(4)+2(-4) & 1(-4)+2(4) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 8-12 & -8+12 \\ 4-8 & -4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ -4 & 4 \end{pmatrix}}$$