Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [0,75 p.] Determine para qué valores de $a$ el sistema tiene solución única.** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $AX = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 5 & -a \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & -1 & 0 \\ 2 & 1 & a & 0 \\ 1 & 5 & -a & a+1 \end{array}\right)$$ Para estudiar el rango de $A$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & -1 \\ 2 & 1 & a \\ 1 & 5 & -a \end{vmatrix} = [1 \cdot 1 \cdot (-a) + a \cdot a \cdot 1 + (-1) \cdot 2 \cdot 5] - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + a \cdot 2 \cdot (-a) + 1 \cdot 5 \cdot a]$$ $$|A| = (-a + a^2 - 10) - (-1 - 2a^2 + 5a) = a^2 - a - 10 + 1 + 2a^2 - 5a = 3a^2 - 6a - 9.$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes determina si el sistema puede ser de solución única según el Teorema de Rouché-Frobenius.

El sistema tiene solución única cuando el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$), lo que implica que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (número de incógnitas). Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$3a^2 - 6a - 9 = 0 \implies a^2 - 2a - 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Obtenemos los valores **$a = 3$** y **$a = -1$**. Por tanto, el sistema tiene solución única (es un Sistema Compatible Determinado) para todos los valores de $a$ excepto $3$ y $-1$. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\}}$$

**b) [1 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.** Analizamos el caso **$a = -1$**. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Como la última columna de $A^*$ es de ceros (términos independientes), el $\text{rg}(A^*) = \text{rg}(A) = 2$. Dado que el rango es menor que el número de incógnitas ($2 \lt 3$), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = -1}$$

Para resolver el sistema cuando $a = -1$, utilizamos las dos ecuaciones linealmente independientes correspondientes al menor de orden 2 seleccionado: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$$ Tomamos $z = \lambda$ como parámetro y pasamos al otro lado: $$\begin{cases} x - y = \lambda \\ 2x + y = \lambda \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $$3x = 2\lambda \implies x = \frac{2}{3}\lambda$$ Sustituyendo $x$ en la primera ecuación: $$\frac{2}{3}\lambda - y = \lambda \implies y = \frac{2}{3}\lambda - \lambda = -\frac{1}{3}\lambda$$ ✅ **Resultado (solución):** $$\boxed{x = \frac{2}{3}\lambda, \quad y = -\frac{1}{3}\lambda, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) [0,75 p.] Determine para qué valor de $a$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso **$a = 3$**. Sustituimos en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 5 & -3 & 4 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$ para $a = 3$, por lo que $\text{rg}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2.$$ Ahora calculamos el rango de la ampliada $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-5) = -20 \neq 0.$$ Al existir un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, el $\text{rg}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rg}(A) = 2 \neq \text{rg}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{a = 3}$$