Probabilidad y Estadística 2020 Baleares
Probabilidad de defectos en producción de impresoras
Una empresa de fabricación de impresoras tiene dos centros de producción, la fábrica europea (E) y la fábrica asiática (A). El 1% de las impresoras de la fábrica E y el 3% de las impresoras de la fábrica A se producen con un defecto. El mercado de un determinado país se abastece de impresoras procedentes de la fábrica E en un 80%, mientras que el resto proviene de la fábrica A.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de este país tenga el defecto? (4 puntos)
(b) Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto? (2 puntos)
(c) Si se elige al azar una impresora de este país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E? (4 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una impresora de este país tenga el defecto? (4 puntos)**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $E$: La impresora procede de la fábrica europea.
- $A$: La impresora procede de la fábrica asiática.
- $D$: La impresora tiene un defecto.
- $\bar{D}$: La impresora no tiene defectos.
De los datos del enunciado, extraemos las probabilidades:
- $P(E) = 0,80$ (80% del mercado).
- $P(A) = 1 - 0,80 = 0,20$ (el resto).
- $P(D|E) = 0,01$ (1% de defecto en E).
- $P(D|A) = 0,03$ (3% de defecto en A).
Representamos esta información en un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para hallar la probabilidad de que una impresora sea defectuosa, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(D) = P(E) \cdot P(D|E) + P(A) \cdot P(D|A)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(D) = 0,80 \cdot 0,01 + 0,20 \cdot 0,03$$
$$P(D) = 0,008 + 0,006$$
$$P(D) = 0,014$$
La probabilidad de que una impresora elegida al azar tenga un defecto es del **1,4%**.
💡 **Recuerda:** El teorema de la probabilidad total se usa cuando queremos calcular la probabilidad de un suceso final que puede ocurrir a través de varios caminos o causas mutuamente excluyentes.
✅ **Resultado (a):**
$$\boxed{P(D) = 0,014}$$
Paso 3
Número esperado de impresoras defectuosas
**(b) Si el país tiene, aproximadamente, dos millones de impresoras fabricadas por esta empresa, ¿cuántas tendrán el defecto? (2 puntos)**
Para calcular el número total de impresoras defectuosas ($N_D$), multiplicamos el tamaño de la población ($N$) por la probabilidad de ser defectuosa ($P(D)$):
$$N_D = N \cdot P(D)$$
$$N_D = 2.000.000 \cdot 0,014$$
Realizamos la operación:
$$N_D = 28.000$$
💡 **Tip:** En estadística, si conocemos la probabilidad individual de un suceso, el número esperado en una población grande es simplemente el producto de $N$ por esa probabilidad.
✅ **Resultado (b):**
$$\boxed{28.000 \text{ impresoras defectuosas}}$$
Paso 4
Probabilidad a posteriori (Teorema de Bayes)
**(c) Si se elige al azar una impresora de este país y resulta ser una impresora defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica E? (4 puntos)**
Nos piden calcular la probabilidad de que la impresora sea de la fábrica E sabiendo que es defectuosa, es decir, $P(E|D)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(E|D) = \frac{P(E \cap D)}{P(D)} = \frac{P(E) \cdot P(D|E)}{P(D)}$$
Utilizamos los valores calculados anteriormente:
- Numerador: $P(E \cap D) = 0,80 \cdot 0,01 = 0,008$
- Denominador: $P(D) = 0,014$
Sustituimos:
$$P(E|D) = \frac{0,008}{0,014}$$
$$P(E|D) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$$
Expresado en forma decimal:
$$P(E|D) \approx 0,5714$$
💡 **Recuerda:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular la probabilidad de una causa (Fábrica E) dado que ya conocemos el efecto (Defecto).
✅ **Resultado (c):**
$$\boxed{P(E|D) = \frac{4}{7} \approx 0,5714}$$