Posición relativa de recta y plano con parámetro

**(a) el plano y la recta son paralelos. (4 puntos)** Para estudiar la posición relativa entre una recta y un plano, primero extraemos un punto y el vector director de la recta $r$, así como el vector normal del plano $\pi$. De la ecuación continua de la recta $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z + 2}{-1}$, obtenemos: - Vector director: $\vec{v}_r = (2, 3, -1)$ - Punto de la recta: $P_r = (1, -1, -2)$ De la ecuación implícita del plano $\pi: 3x - my + z = 1$, obtenemos: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (3, -m, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$.

Para que la recta sea paralela al plano o esté contenida en él, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Esto ocurre cuando su producto escalar es cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$$ $$(2, 3, -1) \cdot (3, -m, 1) = 0$$ $$2(3) + 3(-m) + (-1)(1) = 0$$ $$6 - 3m - 1 = 0$$ $$5 - 3m = 0 \implies m = \frac{5}{3}$$ Si $m = \frac{5}{3}$, la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Para saber si son paralelos (apartado a) o si la recta está contenida (apartado b), comprobamos si el punto $P_r(1, -1, -2)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyéndolo en su ecuación con $m = \frac{5}{3}$: $$\pi: 3x - \frac{5}{3}y + z = 1$$ $$3(1) - \frac{5}{3}(-1) + (-2) = 3 + \frac{5}{3} - 2 = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$$ Como $\frac{8}{3} \neq 1$, el punto $P_r \notin \pi$. Por tanto, para $m = 5/3$, la recta y el plano no tienen puntos en común, lo que significa que son estrictamente paralelos. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{m = \frac{5}{3}}$$

**(b) o bien, el plano contiene la recta. (3 puntos)** Como hemos visto en el paso anterior, el único valor de $m$ que hace que el vector director de la recta sea perpendicular al normal del plano es $m = 5/3$. Sin embargo, para ese valor de $m$, hemos comprobado que el punto $P_r$ de la recta no satisface la ecuación del plano ($P_r \notin \pi$). Para que la recta esté contenida en el plano, todos sus puntos deberían pertenecer a él, incluyendo $P_r$. 💡 **Tip:** Una recta está contenida en un plano si $\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi$ y además cualquier punto de la recta pertenece al plano. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } m \text{ para el cual la recta esté contenida en el plano}}$$

**(c) o bien, el plano y la recta se cortan exactamente en un punto. (3 puntos)** La recta y el plano se cortan en un único punto cuando no son paralelos ni la recta está contenida en el plano. Esto sucede cuando el vector director de la recta **no es perpendicular** al vector normal del plano. Es decir, cuando el producto escalar es distinto de cero: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi \neq 0$$ $$5 - 3m \neq 0 \implies m \neq \frac{5}{3}$$ Para cualquier valor de $m$ distinto de $5/3$, la recta y el plano son secantes, lo que significa que se cortan en un único punto. ✅ **Resultado (c):** $$\boxed{m \neq \frac{5}{3}}$$