Estudio de función racional: monotonía, primitiva y área

**(a) Calcula su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (3 puntos)** La función $f(x) = \frac{3}{x^2 - x}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación del denominador: $$x^2 - x = 0 \implies x(x - 1) = 0$$ De aquí obtenemos los valores $x = 0$ y $x = 1$. 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales menos las raíces del denominador. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$. Utilizamos la regla de la cadena o la derivada de un cociente: $$f(x) = 3(x^2 - x)^{-1}$$ $$f'(x) = 3 \cdot (-1) \cdot (x^2 - x)^{-2} \cdot (2x - 1) = \frac{-3(2x - 1)}{(x^2 - x)^2} = \frac{-6x + 3}{(x^2 - x)^2}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies -6x + 3 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde la función no está definida (en este caso $x=0$ y $x=1$) también dividen los intervalos de monotonía.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $(-\infty, 0)$, $(0, 1/2)$, $(1/2, 1)$ y $(1, +\infty)$. Observamos que el denominador $(x^2 - x)^2$ es siempre positivo en el dominio. Por tanto, el signo de $f'(x)$ depende solo del numerador $-6x + 3$. $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 1/2) & 1/2 & (1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \\\hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow \end{array}$$ Interpretación de la tabla: - $f'(x) \gt 0$ en $(-\infty, 0) \cup (0, 1/2) \implies$ **Creciente**. - $f'(x) \lt 0$ en $(1/2, 1) \cup (1, +\infty) \implies$ **Decreciente**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 0) \cup (0, 1/2) \quad \text{Decrecimiento: } (1/2, 1) \cup (1, +\infty)}$$

**(b) Calcula una primitiva cualquiera de $f(x)$. (4 puntos)** Debemos calcular la integral indefinida: $$I = \int \frac{3}{x^2 - x} dx = \int \frac{3}{x(x - 1)} dx$$ Como es una función racional con raíces reales simples en el denominador, utilizamos el método de **fracciones parciales**: $$\frac{3}{x(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$$ $$3 = A(x - 1) + Bx$$ - Si $x = 0 \implies 3 = A(-1) \implies A = -3$ - Si $x = 1 \implies 3 = B(1) \implies B = 3$ Sustituimos en la integral: $$I = \int \left( \frac{-3}{x} + \frac{3}{x - 1} \right) dx = -3 \ln|x| + 3 \ln|x - 1| + C$$ Utilizando propiedades de los logaritmos: $I = 3(\ln|x - 1| - \ln|x|) = 3 \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right| + C$. 💡 **Tip:** Una primitiva es cualquier función del conjunto anterior, por ejemplo, tomando $C=0$. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = 3 \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right|}$$

**(c) Calcula el área delimitada por la gráfica de la función $y = f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 2$ y $x = 3$. (3 puntos)** En el intervalo $[2, 3]$, la función $f(x) = \frac{3}{x^2 - x}$ es continua y positiva (ya que el numerador es 3 y el denominador $x(x-1)$ es positivo para $x > 1$). El área es la integral definida: $$A = \int_{2}^{3} \frac{3}{x^2 - x} dx$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** usando la primitiva calculada anteriormente: $$A = \left[ 3 \ln\left|\frac{x - 1}{x}\right| \right]_{2}^{3} = 3 \ln\left|\frac{3 - 1}{3}\right| - 3 \ln\left|\frac{2 - 1}{2}\right|$$ $$A = 3 \ln\left(\frac{2}{3}\right) - 3 \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$ $$A = 3 \left[ \ln(2) - \ln(3) - (\ln(1) - \ln(2)) \right]$$ Como $\ln(1) = 0$: $$A = 3 [\ln(2) - \ln(3) + \ln(2)] = 3 [2 \ln(2) - \ln(3)] = 3 \ln\left(\frac{4}{3}\right) \text{ u}^2$$ Calculando el valor decimal aproximado: $A \approx 0.863 \text{ u}^2$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{A = 3 \ln\left(\frac{4}{3}\right) \text{ unidades de área}}$$