Problema de mezcla de minerales y sistemas de ecuaciones

**(a) Plantea un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado. (4 puntos)** Primero, definimos las variables de decisión que representen las cantidades desconocidas: - $x$: Toneladas de mineral extraídas de la **Mina A**. - $y$: Toneladas de mineral extraídas de la **Mina B**. - $z$: Toneladas de mineral extraídas de la **Mina C**. A partir de las concentraciones dadas y los totales requeridos, planteamos una ecuación por cada elemento químico: 1. **Níquel (Ni):** $1\% \text{ de } x + 2\% \text{ de } y + 1\% \text{ de } z = 7 \implies 0,01x + 0,02y + 0,01z = 7$ 2. **Cobre (Cu):** $2\% \text{ de } x + 5\% \text{ de } y + 3\% \text{ de } z = 18 \implies 0,02x + 0,05y + 0,03z = 18$ 3. **Hierro (Fe):** $3\% \text{ de } x + 7\% \text{ de } y + 1\% \text{ de } z = 16 \implies 0,03x + 0,07y + 0,01z = 16$ Para trabajar con números enteros, multiplicamos cada ecuación por $100$: $$\begin{cases} x + 2y + z = 700 \\ 2x + 5y + 3z = 1800 \\ 3x + 7y + z = 1600 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + 2y + z = 700 \\ 2x + 5y + 3z = 1800 \\ 3x + 7y + z = 1600 \end{cases}}$$

**(b) Clasifica el sistema. (2 puntos)** Para clasificar el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 700 \\ 2 & 5 & 3 & 1800 \\ 3 & 7 & 1 & 1600 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 5\cdot 1) + (2\cdot 3\cdot 3) + (1\cdot 2\cdot 7) - (1\cdot 5\cdot 3) - (3\cdot 7\cdot 1) - (2\cdot 2\cdot 1)$$ $$|A| = 5 + 18 + 14 - 15 - 21 - 4 = 37 - 40 = -3$$ Como $|A| = -3 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es $3$.

Dado que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: 1. $rg(A) = 3$. 2. Como $A$ es una submatriz de $A^*$ y el rango máximo posible es $3$, entonces $rg(A^*) = 3$. 3. El número de incógnitas es $n = 3$. Al cumplirse que $rg(A) = rg(A^*) = n = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. 💡 **Tip:** Si el determinante de la matriz principal es distinto de cero en un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas, siempre será un Sistema Compatible Determinado. ✅ **Resultado (Clasificación):** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

**(c) Resuelve el sistema. (4 puntos)** Resolveremos el sistema utilizando la **Regla de Cramer**, ya que conocemos $|A| = -3$. Para hallar $x$, sustituimos la primera columna por la columna de términos independientes: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 700 & 2 & 1 \\ 1800 & 5 & 3 \\ 1600 & 7 & 1 \end{vmatrix}}{-3}$$ Calculamos $|A_x|$: $$|A_x| = 700(5-21) - 2(1800-4800) + 1(12600-8000)$$ $$|A_x| = 700(-16) - 2(-3000) + 4600 = -11200 + 6000 + 4600 = -600$$ Entonces: $$x = \frac{-600}{-3} = 200$$ 💡 **Tip:** La Regla de Cramer es muy útil cuando el determinante principal es un número pequeño y entero.

Para hallar $y$, sustituimos la segunda columna: $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 700 & 1 \\ 2 & 1800 & 3 \\ 3 & 1600 & 1 \end{vmatrix}}{-3}$$ Calculamos $|A_y|$: $$|A_y| = 1(1800-4800) - 700(2-9) + 1(3200-5400)$$ $$|A_y| = -3000 - 700(-7) - 2200 = -3000 + 4900 - 2200 = -300$$ Entonces: $$y = \frac{-300}{-3} = 100$$

Para hallar $z$, sustituimos la tercera columna: $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 700 \\ 2 & 5 & 1800 \\ 3 & 7 & 1600 \end{vmatrix}}{-3}$$ Calculamos $|A_z|$: $$|A_z| = 1(8000-12600) - 2(3200-5400) + 700(14-15)$$ $$|A_z| = -4600 - 2(-2200) + 700(-1) = -4600 + 4400 - 700 = -900$$ Entonces: $$z = \frac{-900}{-3} = 300$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 200, \, y = 100, \, z = 300}$$ Esto significa que se deben extraer **200 toneladas de la Mina A**, **100 toneladas de la Mina B** y **300 toneladas de la Mina C**.