Distribución Normal: Vida de bacterias

**(a) su número de horas de vida sobrepase las 112,25 horas. (4 puntos)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria para las bacterias de tipo A: $X \equiv$ "número de horas de vida de una bacteria tipo A". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(110; \, 0,75)$. Para calcular probabilidades en una normal distinta a la estándar, debemos **tipificar** la variable utilizando la fórmula $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$, donde $Z \sim N(0, 1)$. Queremos calcular $P(X \gt 112,25)$: $$P(X \gt 112,25) = P\left( Z \gt \frac{112,25 - 110}{0,75} \right) = P\left( Z \gt \frac{2,25}{0,75} \right) = P(Z \gt 3)$$ Como las tablas de la normal estándar nos dan la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 3) = 1 - P(Z \le 3)$$ Buscamos el valor $3,00$ en la tabla de la $N(0, 1)$ y obtenemos $0,9987$. $$P(X \gt 112,25) = 1 - 0,9987 = 0,0013$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar nos permite comparar cualquier distribución normal con la normal estándar $N(0,1)$, cuyos valores están tabulados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 112,25) = 0,0013}$$

**(b) su número de horas de vida sea inferior a 109,25 horas. (4 puntos)** Buscamos calcular $P(X \lt 109,25)$. Realizamos de nuevo el proceso de tipificación: $$P(X \lt 109,25) = P\left( Z \lt \frac{109,25 - 110}{0,75} \right) = P\left( Z \lt \frac{-0,75}{0,75} \right) = P(Z \lt -1)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de ser menor que un valor negativo es igual a la probabilidad de ser mayor que su correspondiente positivo: $$P(Z \lt -1) = P(Z \gt 1)$$ Y aplicando la propiedad del complementario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Consultamos en la tabla el valor para $Z = 1,00$, que es $0,8413$: $$P(X \lt 109,25) = 1 - 0,8413 = 0,1587$$ 💡 **Tip:** Es muy útil hacer un pequeño dibujo de la campana para visualizar que $P(Z \lt -a)$ es idéntico a $P(Z \gt a)$ por simetría respecto al eje vertical. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 109,25) = 0,1587}$$

**De otra bacteria (tipo B) se sabe que el número de horas de vida se distribuye según una normal de media 110 horas, pero se desconoce su desviación típica. Experimentalmente se ha comprobado que la probabilidad de que una bacteria tipo B viva más de 125 horas es 0,1587. Calcula la desviación típica de la distribución del número de horas de vida de las bacterias tipo B. (2 puntos)** Definimos la nueva variable $Y \equiv$ "número de horas de vida de una bacteria tipo B". Sabemos que $Y \sim N(110, \, \sigma)$ y que $P(Y \gt 125) = 0,1587$. Tipificamos la expresión: $$P\left( Z \gt \frac{125 - 110}{\sigma} \right) = 0,1587 \implies P\left( Z \gt \frac{15}{\sigma} \right) = 0,1587$$ Pasamos al suceso menor o igual para poder usar la tabla: $$1 - P\left( Z \le \frac{15}{\sigma} \right) = 0,1587$$ $$P\left( Z \le \frac{15}{\sigma} \right) = 1 - 0,1587 = 0,8413$$ Ahora realizamos una **lectura inversa** de la tabla: buscamos el valor $0,8413$ en el interior de la tabla de la $N(0, 1)$ para encontrar a qué valor de $Z$ corresponde. Observamos que corresponde exactamente a $Z = 1,00$. Por tanto: $$\frac{15}{\sigma} = 1 \implies \sigma = 15$$ La desviación típica de las bacterias tipo B es de $15$ horas. 💡 **Tip:** En los problemas donde te dan la probabilidad y piden un parámetro, el objetivo es encontrar el valor crítico $z$ en la tabla y luego despejar de la fórmula de tipificación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma = 15 \text{ horas}}$$