Geometría en el espacio: Ecuaciones de la recta y el plano

**(a) Calcula la expresión de la ecuación continua de la recta $r$. (2 puntos)** Para expresar la recta $r$ en forma continua, necesitamos un punto $A \in r$ y su vector director $\vec{v}_r$. El vector director se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (2, -3, 4) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (1, 2, -3)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}[(-3)(-3) - (4)(2)] - \mathbf{j}[(2)(-3) - (4)(1)] + \mathbf{k}[(2)(2) - (-3)(1)]$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(9 - 8) - \mathbf{j}(-6 - 4) + \mathbf{k}(4 + 3) = (1, 10, 7)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

Para encontrar un punto de la recta, asignamos un valor a una de las variables en el sistema de ecuaciones. Sea $y = 0$: $$\begin{cases} 2x + 4z = 1 \\ x - 3z = 2 \implies x = 2 + 3z \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$2(2 + 3z) + 4z = 1 \implies 4 + 6z + 4z = 1 \implies 10z = -3 \implies z = -0.3$$ Calculamos $x$: $$x = 2 + 3(-0.3) = 2 - 0.9 = 1.1$$ El punto es $A(1.1, 0, -0.3)$. La ecuación continua de la recta $r$ es: $$\boxed{\frac{x - 1.1}{1} = \frac{y}{10} = \frac{z + 0.3}{7}}$$

**(b) Calcula la ecuación del plano, $\Pi$, perpendicular a la recta $r$ que pasa por el punto $P$. (2 puntos)** Si el plano $\Pi$ es perpendicular a la recta $r$, su vector normal $\vec{n}_\Pi$ debe ser igual al vector director de la recta: $$\vec{n}_\Pi = \vec{v}_r = (1, 10, 7)$$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector: $$1x + 10y + 7z + D = 0$$ Como el plano pasa por $P(2, -1, 1)$: $$1(2) + 10(-1) + 7(1) + D = 0 \implies 2 - 10 + 7 + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ ✅ **Resultado (Plano $\Pi$):** $$\boxed{x + 10y + 7z + 1 = 0}$$

**(c) Calcula el punto, $Q$, de intersección del plano $\Pi$ con la recta $r$. (3 puntos)** Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas usando el punto $A(1.1, 0, -0.3)$ y el vector $\vec{v}_r(1, 10, 7)$: $$r: \begin{cases} x = 1.1 + \lambda \\ y = 10\lambda \\ z = -0.3 + 7\lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\Pi$: $$(1.1 + \lambda) + 10(10\lambda) + 7(-0.3 + 7\lambda) + 1 = 0$$ $$1.1 + \lambda + 100\lambda - 2.1 + 49\lambda + 1 = 0$$ $$150\lambda + 0 = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las paramétricas obtenemos el punto $Q$: $$\boxed{Q(1.1, 0, -0.3)}$$

**(d) De todas las rectas que pasan por el punto $P = (2, -1, 1)$, calcula aquella que corta perpendicularmente a la recta $r$. (3 puntos)** La recta que buscamos (llamémosla $s$) debe pasar por $P$ y por el punto $Q$ calculado anteriormente, ya que $Q$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$. El vector director de $s$ será $\vec{v}_s = \vec{PQ}$: $$\vec{v}_s = Q - P = (1.1 - 2, 0 - (-1), -0.3 - 1) = (-0.9, 1, -1.3)$$ Para trabajar con números enteros, podemos multiplicar el vector por $-10$: $$\vec{d}_s = (9, -10, 13)$$ La ecuación continua de la recta $s$ es: $$\boxed{\frac{x - 2}{9} = \frac{y + 1}{-10} = \frac{z - 1}{13}}$$ 💡 **Tip:** El camino más corto (y la recta perpendicular) entre un punto y una recta siempre pasa por la proyección ortogonal del punto sobre dicha recta.