Estudio de función cúbica, recta tangente y cálculo de áreas

**(a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = -1$. (2 puntos)** Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = a$, utilizamos la fórmula: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. Calculamos la ordenada del punto de tangencia: $$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2.$$ El punto de tangencia es **$P(-1, 2)$**. 2. Hallamos la derivada de la función: $$f'(x) = 3x^2 - 3.$$ 3. Calculamos la pendiente de la tangente ($m$) evaluando la derivada en $x = -1$: $$m = f'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0.$$ 4. Escribimos la ecuación de la recta: $$y - 2 = 0(x - (-1)) \implies y - 2 = 0 \implies y = 2.$$ 💡 **Tip:** Cuando la pendiente $f'(a) = 0$, la recta tangente es una recta horizontal de la forma $y = k$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2}$$

**(b) Haz un esbozo de la gráfica de $y = f(x)$ y calcula: los puntos de corte con los ejes, los extremos relativos y el comportamiento de la función al infinito. (4 puntos)** Primero, calculamos los puntos de corte con los ejes: - **Eje OY ($x = 0$):** $f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$. El punto es **$(0, 0)$**. - **Eje OX ($y = 0$):** $$x^3 - 3x = 0 \implies x(x^2 - 3) = 0.$$ Las soluciones son $x = 0$, $x = \sqrt{3}$ y $x = -\sqrt{3}$. Los puntos son **$(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$ y $(-\sqrt{3}, 0)$**. Comportamiento en el infinito: Calculamos los límites cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - 3x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} (x^3 - 3x) = \lim_{x \to -\infty} x^3 = -\infty$$ 💡 **Tip:** En polinomios, el comportamiento en el infinito viene determinado por el término de mayor grado.

Para hallar los extremos relativos, igualamos la primera derivada a cero: $$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ Calculamos las coordenadas de los extremos: - **Máximo relativo:** en $x = -1$, $f(-1) = 2 \implies \mathbf{M(-1, 2)}$. - **Mínimo relativo:** en $x = 1$, $f(1) = 1^3 - 3(1) = -2 \implies \mathbf{m(1, -2)}$. Con estos datos (cortes, límites y extremos), podemos esbozar la gráfica. ✅ **Resultado (Esbozo):** "Ver gráfico interactivo más abajo"

**(c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función dada y la recta $y = 2$. (4 puntos)** Para calcular el área, primero buscamos los puntos de corte entre $f(x) = x^3 - 3x$ y $g(x) = 2$: $$x^3 - 3x = 2 \implies x^3 - 3x - 2 = 0.$$ Sabemos por el apartado (a) que en $x = -1$ hay una tangencia, por lo que $x = -1$ debe ser una raíz (doble). Comprobamos por Ruffini o división: $$(x+1)^2(x-2) = 0.$$ Las raíces son **$x = -1$** (doble, punto de tangencia) y **$x = 2$**. El recinto está limitado en el intervalo $[-1, 2]$. En este intervalo, la recta $y = 2$ está por encima de la curva $f(x)$ (ya que en $x=-1$ es máximo y luego la función baja hasta el mínimo en $x=1$). 💡 **Tip:** Si no estás seguro de qué función va por encima, puedes evaluar un punto intermedio, por ejemplo $x = 0$: $f(0) = 0$ y $g(0) = 2$. Como $2 > 0$, la recta está por encima.

El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{-1}^{2} [2 - (x^3 - 3x)] \, dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) \, dx.$$ Calculamos la primitiva: $$G(x) = \int (-x^3 + 3x + 2) \, dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x.$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 2$: $G(2) = -\frac{16}{4} + \frac{3(4)}{2} + 2(2) = -4 + 6 + 4 = 6$. - Para $x = -1$: $G(-1) = -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = -0.25 + 1.5 - 2 = -0.75$. $$A = 6 - (-0.75) = 6 + 0.75 = 6.75 \text{ u}^2.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = \frac{27}{4} = 6.75 \text{ u}^2}$$ **Interactivo:**