Discusión y resolución de un sistema con parámetro a

**(a) tenga solución única, (4 puntos)** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 1+a & a \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \\ a & 0 & 1 & \big| & 0 \\ 1 & 1+a & a & \big| & a+1 \end{pmatrix}$$ El sistema tendrá solución única (Sistema Compatible Determinado) cuando el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, ya que en ese caso $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$ (número de incógnitas). 💡 **Tip:** Según el Teorema de Rouché-Capelli, si el rango de la matriz de coeficientes es igual al de la ampliada e igual al número de incógnitas, el sistema es Compatible Determinado.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & 1+a & a \end{vmatrix} = [1 \cdot 0 \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot a \cdot (1+a)] - [0 \cdot 0 \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot (1+a)]$$ $$|A| = [0 + 1 + 0] - [0 + a^2 + 1 + a] = 1 - a^2 - 1 - a = -a^2 - a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$-a^2 - a = 0 \implies -a(a + 1) = 0$$ Obtenemos dos valores: **$a = 0$** y **$a = -1$**. Por tanto, el sistema tiene **solución única** si: $$\boxed{a \neq 0 \quad \text{y} \quad a \neq -1}$$

Para $a \notin \{0, -1\}$, resolvemos mediante la regla de Cramer: Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: $|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a+1 & 1+a & a \end{vmatrix} = [0 + (a+1) + 0] - [0 + (a+1) + 0] = 0$ $|A_y| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & a+1 & a \end{vmatrix} = [0 + 1 + 0] - [0 + (a+1) + a^2] = 1 - a - 1 - a^2 = -a - a^2 = -a(a+1)$ $|A_z| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 0 \\ 1 & 1+a & a+1 \end{vmatrix} = [0 + 0 + a(1+a)] - [0 + 0 + a(1+a)] = 0$ Las soluciones son: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{0}{-a(a+1)} = 0$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{-a(a+1)}{-a(a+1)} = 1$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{0}{-a(a+1)} = 0$$ ✅ **Resultado apartado (a):** $$\boxed{\text{Si } a \neq 0, -1: \text{ SCD con solución } (0, 1, 0)}$$

**(b) tenga infinitas soluciones, (4 puntos)** Analizamos el caso **$a = 0$**. La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \big| & 0 \\ 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas. El rango de $A$ es 2 (ya que la segunda fila es linealmente independiente de la primera, pues tiene el 1 en la tercera columna). Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado**. Resolvemos el sistema equivalente: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 - x \\ z = 0 \end{cases}$$ Tomando $x = \lambda$: $$\boxed{\text{Para } a = 0: (x, y, z) = (\lambda, 1 - \lambda, 0) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ 💡 **Tip:** Cuando un sistema es SCI, una o más incógnitas se expresan en función de parámetros libres (como $\lambda$).

Analizamos el caso **$a = -1$**. La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \big| & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \big| & 0 \\ 1 & 0 & -1 & \big| & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$. Un menor de orden 2 es $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, luego $\text{rang}(A) = 2$. Para el rango de $A^*$, observamos que la fila 3 es exactamente la fila 2 multiplicada por $-1$ ($R_3 = -R_2$): $$(1, 0, -1, 0) = -(-1, 0, 1, 0)$$ Esto significa que la fila 3 es redundante. Por tanto, $\text{rang}(A^*) = 2$. Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Resolvemos el sistema equivalente: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ -x + z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = 1 - x \\ z = x \end{cases}$$ Tomando $x = \lambda$: $$\boxed{\text{Para } a = -1: (x, y, z) = (\lambda, 1 - \lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$ ✅ **Resultado apartado (b):** $$\boxed{a = 0 \text{ y } a = -1 \text{ (Sistemas Compatibles Indeterminados)}}$$

**(c) no tenga solución. (2 puntos)** Tras el análisis realizado en los pasos anteriores: - Si $a \neq 0, -1$, el sistema es Compatible Determinado (solución única). - Si $a = 0$, el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). - Si $a = -1$, el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones). En ningún caso los rangos de $A$ y $A^*$ son distintos. Según el Teorema de Rouché-Capelli, para que un sistema sea Incompatible (no tenga solución), debería ocurrir que $\text{rang}(A) < \text{rang}(A^*)$. ✅ **Resultado apartado (c):** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ para el cual el sistema no tenga solución}}$$