Distribución normal de los pesos de un grupo

Para resolver este problema, primero debemos definir la variable aleatoria y sus parámetros. Sea $X$ la variable que representa el peso de una persona del grupo en kilogramos. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(54,3; \, 6,5)$$ Donde la media es $\mu = 54,3$ y la desviación típica es $\sigma = 6,5$. Para realizar cálculos, utilizaremos la tipificación de la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 54,3}{6,5}$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite usar las tablas estándar de probabilidad para cualquier distribución normal.

**(a) ¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 57 kg? (3 puntos)** Buscamos la probabilidad de que una persona pese más de $57$ kg, es decir, $P(X \gt 57)$. Tipificamos el valor: $$Z = \frac{57 - 54,3}{6,5} = \frac{2,7}{6,5} \approx 0,42$$ Ahora calculamos la probabilidad en la normal estándar: $$P(X \gt 57) = P(Z \gt 0,42) = 1 - P(Z \le 0,42)$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$, obtenemos que $P(Z \le 0,42) = 0,6628$. Por tanto: $$P(X \gt 57) = 1 - 0,6628 = 0,3372$$ Para obtener el porcentaje, multiplicamos por 100. ✅ **Resultado:** $$\boxed{33,72\%}$$

**(b) ¿Qué porcentaje de personas pesan entre 50 y 57 kg? (4 puntos)** Buscamos la probabilidad $P(50 \lt X \lt 57)$. Tipificamos ambos límites: - Para $x_1 = 50$: $Z_1 = \frac{50 - 54,3}{6,5} = \frac{-4,3}{6,5} \approx -0,66$ - Para $x_2 = 57$: $Z_2 = 0,42$ (calculado anteriormente) Planteamos la probabilidad: $$P(50 \lt X \lt 57) = P(-0,66 \lt Z \lt 0,42) = P(Z \lt 0,42) - P(Z \lt -0,66)$$ Debido a la simetría de la normal, $P(Z \lt -0,66) = P(Z \gt 0,66) = 1 - P(Z \le 0,66)$. Buscamos en la tabla $P(Z \le 0,66) = 0,7454$: $$P(Z \lt -0,66) = 1 - 0,7454 = 0,2546$$ Sustituimos: $$P(50 \lt X \lt 57) = 0,6628 - 0,2546 = 0,4082$$ Multiplicamos por 100 para el porcentaje. 💡 **Tip:** Recuerda que $P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{40,82\%}$$

**(c) Si se elige una persona al azar que está dentro del 70% de las personas que menos pesan, como máximo, ¿cuántos kilos debería pesar? (3 puntos)** Este es un problema inverso: conocemos la probabilidad (o el área bajo la curva) y buscamos el valor de la variable $k$. El enunciado nos pide hallar $k$ tal que: $$P(X \le k) = 0,70$$ Tipificamos para buscar en la tabla $N(0, 1)$: $$P\left(Z \le \frac{k - 54,3}{6,5}\right) = 0,70$$ Buscamos en el cuerpo de la tabla el valor de probabilidad más cercano a $0,70$: - Para $z = 0,52$, la probabilidad es $0,6985$. - Para $z = 0,53$, la probabilidad es $0,7019$. El valor más próximo es $z_0 \approx 0,52$ (o interpolando, $0,524$). Tomaremos **$z_0 = 0,52$**. Ahora despejamos $k$: $$\frac{k - 54,3}{6,5} = 0,52 \implies k - 54,3 = 0,52 \cdot 6,5$$ $$k - 54,3 = 3,38 \implies k = 54,3 + 3,38 = 57,68$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{57,68 \text{ kg}}$$