Posición relativa de tres planos con parámetros

**(a) Demuestra que, para cualquier valor del parámetro $a$, no hay ningún par que sean paralelos. (4 puntos)** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. Extraemos los vectores normales de los planos: - Plano (I): $\vec{n}_1 = (3, -a, 2)$ - Plano (II): $\vec{n}_2 = (2, -5, 3)$ - Plano (III): $\vec{n}_3 = (1, 3, -(a - 1)) = (1, 3, 1 - a)$ Comprobamos la proporcionalidad entre cada par: 1. **Entre (I) y (II):** $$\frac{3}{2} = \frac{-a}{-5} = \frac{2}{3}$$ Observamos que $\frac{3}{2} \neq \frac{2}{3}$, por lo que los planos (I) y (II) **no son paralelos nunca**, independientemente de $a$. 2. **Entre (II) y (III):** $$\frac{2}{1} = \frac{-5}{3} = \frac{3}{1 - a}$$ Como $2 \neq -\frac{5}{3}$, los planos (II) y (III) **no son paralelos nunca**. 3. **Entre (I) y (III):** $$\frac{3}{1} = \frac{-a}{3} = \frac{2}{1 - a}$$ Para que las dos primeras fracciones sean iguales: $3 = -a/3 \implies a = -9$. Sustituimos $a = -9$ en la tercera fracción: $\frac{2}{1 - (-9)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Como $3 \neq 1/5$, los vectores no son proporcionales para ningún $a$. 💡 **Tip:** Dos planos $\pi_1: Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi_2: A'x+B'y+C'z+D'=0$ son paralelos si $\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ que haga que dos planos sean paralelos.}}$$

**(b) Estudia su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro $a$. (6 puntos)** Para estudiar la posición relativa de los tres planos, analizamos el sistema de ecuaciones lineales que forman: $$\begin{cases} 3x - ay + 2z = a - 1 \\ 2x - 5y + 3z = 1 \\ x + 3y - (a - 1)z = 0 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -a & 2 \\ 2 & -5 & 3 \\ 1 & 3 & -(a - 1) \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -a & 2 & a - 1 \\ 2 & -5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -(a - 1) & 0 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & -a & 2 \\ 2 & -5 & 3 \\ 1 & 3 & -a + 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [3(-5)(-a + 1) + (-a)(3)(1) + (2)(2)(3)] - [(1)(-5)(2) + (3)(3)(3) + (-a + 1)(2)(-a)]$$ $$|A| = [15a - 15 - 3a + 12] - [-10 + 27 + 2a^2 - 2a]$$ $$|A| = (12a - 3) - (2a^2 - 2a + 17) = -2a^2 + 14a - 20$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2a^2 + 14a - 20 = 0 \implies a^2 - 7a + 10 = 0$$ $$a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \implies \mathbf{a = 5, \, a = 2}$$

Si $a \neq 2$ y $a \neq 5$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso, $\text{rango}(A) = 3$ y, como el sistema solo tiene 3 incógnitas, $\text{rango}(A^*) = 3$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que existe una única solución $(x, y, z)$. Geométricamente, los tres planos se cortan en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, 5: \text{ Los tres planos se cortan en un único punto.}}$$

Si **$a = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & 2 & 1 \\ 2 & -5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos el rango de $A$ con un menor de orden 2: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = -15 - (-4) = -11 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ analizando el determinante de la matriz formada por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = [0 + (-2) + 6] - [-5 + 9 + 0] = 4 - 4 = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, $\text{rango}(A^*) = 2$. Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 < 3$, el sistema es **Compatible Indeterminado**. Dado que en el apartado (a) demostramos que no hay planos paralelos, la única posibilidad es que los tres planos pertenezcan a un mismo haz y se corten en una recta común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2: \text{ Los tres planos se cortan en una recta.}}$$

Si **$a = 5$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & -5 & 2 & 4 \\ 2 & -5 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & -4 & 0 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$. Comprobamos el rango de $A$: $$\begin{vmatrix} 3 & -5 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = -15 + 10 = -5 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ con las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 3 & -5 & 4 \\ 2 & -5 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = [0 + (-5) + 24] - [-20 + 9 + 0] = 19 - (-11) = 30 \neq 0$$ Entonces, $\text{rango}(A^*) = 3$. Como $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. No hay puntos comunes a los tres planos simultáneamente. Al no haber pares de planos paralelos (apartado a), los planos deben cortarse dos a dos formando la superficie de un prisma triangular. 💡 **Tip:** En sistemas incompatibles con rango(A)=2 y sin planos paralelos, los planos forman un prisma. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 5: \text{ Los planos se cortan dos a dos formando un prisma.}}$$