Evolución de la población de peces

**(a) La población que había el 1 de enero del año 2000 y la población que habrá al final del año 2020. (1 punto)** El enunciado define $t$ como los años transcurridos desde el 1 de enero de 2000. 1. **Para el 1 de enero de 2000**, el tiempo transcurrido es $t = 0$: $$P(0) = \sqrt{0 + 1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1 \text{ miles de individuos.}$$ Esto equivale a $1 \times 1000 = \mathbf{1000}$ **individuos**. 2. **Para el final del año 2020**, debemos considerar que han pasado los 21 años completos (desde el inicio de 2000 hasta el final de 2020, o inicio de 2021), por lo tanto $t = 21$: $$P(21) = \sqrt{21 + 1} - \sqrt{21} = \sqrt{22} - \sqrt{21} \approx 4.6904 - 4.5826 = 0.1078 \text{ miles de individuos.}$$ Esto equivale a $0.1078 \times 1000 \approx \mathbf{107.8}$ **individuos**. 💡 **Tip:** Presta atención a las unidades. $P(t)$ está en miles, por lo que debes multiplicar por 1000 para dar el número de individuos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Pob. (2000): } 1000 \text{ peces; Pob. (final 2020): } 107.8 \text{ peces}}$$

**(b) El tamaño de la población (en número de individuos) a largo plazo. (3 puntos)** El concepto "a largo plazo" en matemáticas se traduce como el cálculo del límite cuando $t$ tiende a infinito ($t \to +\infty$). $$\lim_{t \to +\infty} P(t) = \lim_{t \to +\infty} (\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\infty - \infty$. Para resolverla, multiplicamos y dividimos por el conjugado: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{(\sqrt{t + 1} - \sqrt{t})(\sqrt{t + 1} + \sqrt{t})}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{(\sqrt{t + 1})^2 - (\sqrt{t})^2}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}$$ $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t + 1 - t}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{t + 1} + \sqrt{t}}$$ Como el denominador tiende a $+\infty$, el límite es: $$\frac{1}{+\infty} = 0$$ A largo plazo, el número de individuos tiende a **0**. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una resta de raíces que de $\infty - \infty$, el método estándar es el uso del conjugado: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La población a largo plazo será de 0 individuos (extinción).}}$$

**(c) El año en el cual se llega a la población mínima y cuántos individuos habrá. (4 puntos)** Para encontrar los extremos relativos, estudiamos la derivada de la función $P(t) = (t+1)^{1/2} - t^{1/2}$: $$P'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{t}}$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos a cero: $$\frac{1}{2\sqrt{t + 1}} - \frac{1}{2\sqrt{t}} = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{t + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{t}} \implies \sqrt{t} = \sqrt{t + 1}$$ Elevando al cuadrado: $t = t + 1 \implies 0 = 1$, lo cual es **imposible**. No existen puntos críticos donde la derivada sea cero. **Estudio del signo de $P'(t)$:** Como para cualquier $t > 0$ se cumple que $\sqrt{t + 1} > \sqrt{t}$, entonces sus inversos cumplen: $$\frac{1}{\sqrt{t + 1}} < \frac{1}{\sqrt{t}} \implies P'(t) < 0$$ La función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio $[0, +\infty)$. Al ser siempre decreciente y tener una asíntota horizontal en $y=0$, la población nunca alcanza un valor mínimo absoluto en un año concreto, sino que **disminuye continuamente hacia cero**. Sin embargo, técnicamente no se "llega" a un mínimo en un tiempo finito, el valor mínimo (ínfimo) es 0 y se alcanzaría en el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No hay un año específico; la población decrece continuamente tendiendo a 0.}}$$

**(d) Haz un esbozo de la gráfica de la evolución poblacional $t \to P(t)$. (2 puntos)** Para el esbozo, recopilamos los datos obtenidos: - Punto inicial: $(0, 1)$. - Asíntota horizontal: $y = 0$ cuando $t \to +\infty$. - Monotonía: Siempre decreciente ($P'(t) < 0$). - Curvatura: $P''(t) = -\frac{1}{4}(t+1)^{-3/2} + \frac{1}{4}t^{-3/2} > 0$ (la función es convexa o cóncava hacia arriba). Podemos ver la representación gráfica a continuación: