Operaciones con matrices y rango con parámetros

**(a) calcula $A \cdot B$ y $(A \cdot B)^t$, donde la “t” indica matriz transpuesta. (4 puntos)** Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera ($A$, que es $3 \times 3$) debe coincidir con el número de filas de la segunda ($B$, que es $3 \times 2$). Como $3 = 3$, el producto es posible y la matriz resultante será de dimensión $3 \times 2$. Calculamos cada elemento del producto $C = A \cdot B$ multiplicando filas de $A$ por columnas de $B$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & x \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{pmatrix}$$ - $c_{11} = 2(1) + 3(0) + x(1) = 2 + x$ - $c_{12} = 2(2) + 3(1) + x(0) = 4 + 3 = 7$ - $c_{21} = 4(1) + 6(0) + 8(1) = 4 + 8 = 12$ - $c_{22} = 4(2) + 6(1) + 8(0) = 8 + 6 = 14$ - $c_{31} = 6(1) + 9(0) + 12(1) = 6 + 12 = 18$ - $c_{32} = 6(2) + 9(1) + 12(0) = 12 + 9 = 21$ 💡 **Tip:** Recuerda que el elemento $c_{ij}$ se obtiene sumando los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los elementos correspondientes de la columna $j$ de la segunda. ✅ **Resultado parcial ($A \cdot B$):** $$\boxed{A \cdot B = \begin{pmatrix} 2+x & 7 \\ 12 & 14 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}}$$

La matriz transpuesta se obtiene intercambiando filas por columnas. Si $A \cdot B$ es una matriz $3 \times 2$, su transpuesta será una matriz $2 \times 3$. Dada $A \cdot B = \begin{pmatrix} 2+x & 7 \\ 12 & 14 \\ 18 & 21 \end{pmatrix}$: $$(A \cdot B)^t = \begin{pmatrix} 2+x & 12 & 18 \\ 7 & 14 & 21 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{(A \cdot B)^t = \begin{pmatrix} 2+x & 12 & 18 \\ 7 & 14 & 21 \end{pmatrix}}$$

**(b) ¿es posible calcular $B^2$? Si lo es, calcúlala. (1 punto)** Para poder calcular el cuadrado de una matriz, $B^2 = B \cdot B$, la matriz debe ser **cuadrada** (mismo número de filas que de columnas). Analizamos la dimensión de $B$: - La matriz $B$ tiene 3 filas y 2 columnas ($3 \times 2$). - Para realizar el producto $B_{3 \times 2} \cdot B_{3 \times 2}$, el número de columnas de la izquierda (2) debería ser igual al número de filas de la derecha (3). Como $2 \neq 3$, el producto no está definido. 💡 **Tip:** Solo se pueden elevar a potencias enteras las matrices cuadradas. ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\text{No es posible calcular } B^2 \text{ porque } B \text{ no es una matriz cuadrada.}}$$

**(c) para los diferentes valores de $x$, calcula el rango de la matriz $A$. (5 puntos)** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Empezamos calculando el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 3 & x \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{vmatrix}$$ $|A| = (2 \cdot 6 \cdot 12) + (3 \cdot 8 \cdot 6) + (x \cdot 4 \cdot 9) - (x \cdot 6 \cdot 6) - (3 \cdot 4 \cdot 12) - (2 \cdot 8 \cdot 9)$ $|A| = 144 + 144 + 36x - 36x - 144 - 144 = 0$ Como el determinante es **$0$ para cualquier valor de $x$**, el rango de $A$ nunca será 3. Esto ocurre porque las dos primeras columnas son proporcionales ($C_2 = 1.5 \cdot C_1$). $$\text{rango}(A) \lt 3 \text{ para todo } x \in \mathbb{R}$$

Como el determinante de orden 3 es nulo, el rango será 2 si existe algún menor de orden 2 no nulo, o 1 si todos los menores de orden 2 son nulos. Observamos las filas $R_2$ y $R_3$: - $R_2 = (4, 6, 8)$ - $R_3 = (6, 9, 12)$ Se cumple que $R_3 = 1.5 \cdot R_2$, por lo que estas dos filas son linealmente dependientes siempre. El rango dependerá de la relación entre $R_1 = (2, 3, x)$ y $R_2 = (4, 6, 8)$. Buscamos un menor de orden 2 que dependa de $x$, por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 3 & x \\ 6 & 8 \end{vmatrix} = 24 - 6x$$ Igualamos a cero para encontrar el valor crítico: $24 - 6x = 0 \implies 6x = 24 \implies x = 4$ **Caso 1: $x \neq 4$** Existe al menos un menor de orden 2 no nulo ($24 - 6x \neq 0$). Por tanto, **rango($A$) = 2**. **Caso 2: $x = 4$** Si $x=4$, la matriz queda: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}$$ En este caso, $R_2 = 2 \cdot R_1$ y $R_3 = 3 \cdot R_1$. Todas las filas son proporcionales a $R_1$. Como hay una fila no nula, **rango($A$) = 1**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } x = 4, & \text{rango}(A) = 1 \\ \text{Si } x \neq 4, & \text{rango}(A) = 2 \end{cases}}$$